Wzór: Całkowanie przez części

 

Wzór: Całkowanie przez części

A \subset \mathbb{R}

Jeżeli funkcje f,g:A \rightarrow \mathbb{R} są ciągłe oraz ich pochodne są ciągłe, to prawdziwy jest następujący wzór:

 \int f'(x)g(x)dx =f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx

Wzór na całkowanie przez części, stosujemy do obliczania całek z iloczynu funkcji.

 

Przykład:

Obliczyć całkę \int x * e^x dx.

 

Stosując wzór na całkowanie przez części do rozwiazania tej całki, musimy zdecydować, którą funkcję e^x czy x przyjmiemy jako f'(x), a którą jako g(x).

Załóżmy, że:

f'(x)=e^x,

g(x)=x.

Otrzymujemy wówczas:

f(x)=\int e^x\ dx=e^x

g'(x)=(x)'=1

W rezultacie po zastosowaniu wzoru na całkowanie przez części otrzymamy:

 \int x * e^x dx =x * e^x-\int e^x * 1 dx=

=x * e^x-\int e^x dx=x * e^x-e^x+C =e^x(x-1)+C

 

Spróbujmy teraz zastosować ten sam wzór na całkowanie przez części, ale stosując odwrotne podstawienia. Jeżeli przyjęlibyśmy, że:

f'(x)=x,

g(x)=e^x,

to otrzymamy:

f(x)=\int x dx=\cfrac{x^2}{2},

g'(x)=(e^x)'=e^x.

W rezultacie po zastosowaniu wzoru na całkowanie przez części otrzymamy:

 \int x * e^x dx =\cfrac{x^2}{2} * e^x-\int\cfrac{x^2}{2} * e^x dx

Takie rozwiązanie nie jest dobre, ponieważ zastosowanie całkowania przez części jeszcze bardziej komplikuje rachunki. W tym wypadku do obliczenia pozostałaby całka \int\cfrac{x^2}{2} * e^x dx , która jest  trudniejsza do obliczenia niż pierwotna całka. Zatem nie tędy droga.

 

Przykład:

Obliczyć całkę \int x^5 \ln{x} dx.

 

Przyjmujemy, że:

\begin{matrix}f'(x)=x^5 & \ \ \ & f(x)=\cfrac{x^6}{6} \\ g(x)= \ln(x)& \ \ \ & g'(x)=\cfrac{1}{x}\end{matrix}

Takie podstawienie pozwoli na pozbycie się logarytmu, dlatego właśnie jako g(x) przyjęliśmy \ln(x). W rezultacie po zastosowaniu wzoru na całkowanie przez części otrzymamy:

 \int x^5 \ln{x} dx = \cfrac{x^6}{6} * \ln{x}-\int \cfrac{x^6}{6} * \cfrac{1}{x}dx = \cfrac{x^6\ln{x}}{6} -\int \cfrac{x^5}{6} dx=

=\cfrac{x^6\ln{x}}{6} -\cfrac{1}{6}\int {x^5} dx = \cfrac{x^6\ln{x}}{6}-\cfrac{1}{6} * \cfrac{x^6}{6}+C= \cfrac{x^6\ln{x}}{6} -\cfrac{x^6}{36}+C

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz