Pierwiastkowanie.

 Pierwiastkowanie jest to działanie odwrotne do potęgowania.

Definicja: Pierwiastek

\sqrt[n]{a} = b

gdzie,

n - stopień pierwiastka

a - liczba podpierwiastkowa

b - pierwiastek n-tego stopnia z a (wynik pierwiastkowania)


Jeżeli a i b są liczbami nieujemnymi  oraz n jest liczbą naturalną różną od 1, to:

\sqrt[n]{a} = b    wtedy i tylko wtedy, gdy   b^n = a

Jeżeli  a jest liczbą ujemną i n jest liczbą nieparzystą, to

\sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{|a|}

 

Zatem umiemy policzyć:

  • pierwiastek dowolnego stopnia z liczb nieujemnych i wynikiem tego pierwiastkowania jest liczba nieujemna
  • pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej ( \sqrt[3]{-8}=-2, bo (-2)^3=-8)

 

UWAGA! 

W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej. 

np. \sqrt{-3}, bo nie ma takiej liczby rzeczywistej b, aby spełnione było równanie b^2=-3.

 

Przykład:

 \sqrt[2]{9} = \sqrt{9} = 3, ponieważ 3^2 = 9 - czytamy "pierwiastek z dziewięciu"

 \sqrt[3]{27} = 3, ponieważ 3^3 = 27 - czytamy "pierwiastek trzeciego stopnia z dwudziestu siedmiu"

 \sqrt[4]{16} = 2, ponieważ 2^4 = 16 - czytamy "pierwiastek czwartego stopnia z szesnastu"

 \sqrt[3]{-3} = -\sqrt[3]{3}

Działania na pierwiastkach.

Poniżej znajduje sie lista działań  jakie możemy wykonywać na pierwiastkach.

 

Zakładamy, że a i b są liczbami nieujemnymi oraz n i m są to liczby naturalne różne od 1.

 

Wzór: Pierwiastek iloczynu.

\sqrt[n]{a * b} = \sqrt[n]{a} * \sqrt[n]{b}

 

Pierwiastek iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków.

Przykład:

\sqrt[3]{5 * 6} = \sqrt[3]{5} * \sqrt[3]{6}

 

Wzór: Pierwiastek z pierwiastka.

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[m * n]{a}

Przykład:

\sqrt[4]{\sqrt[5]{6}} = \sqrt[4 * 5]{6} = \sqrt[20]{6}

 

Wzór: Potęga pierwiastka.

(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}

Przykład:

(\sqrt[3]{5})^6 = \sqrt[3]{5^6}

 

Wzór: Włączanie liczby pod pierwiastek.

a * \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a^n * b}

Przykład:

10 * \sqrt[3]{5}= \sqrt[3]{10^3 * 5}

 

Wzór: Pierwiastek ilorazu

\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}= \cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, dla  b > 0

Pierwiastek ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.

Przykład:

\sqrt[3]{\cfrac{10}{5}}= \cfrac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{5}}

 

 

(\sqrt[n]{a})^n = a

Przykład:

\sqrt[3]{5}^3= 5

 

\sqrt[n]{a^n} = \left\{\begin{matrix} |a|, \quad \text{gdy n -   parzyste} \\ a, \quad \text{gdy n -nieparzyste}   \end{matrix}\right.

Myślę, że powyższy wzór wymaga wyjaśnień. Trzeba tutaj koniecznie przypomnieć, że nie umiemy obliczać pierwiastków parzystego stopnia z liczb ujemnych. Z pierwiastkami nieparzystego stopnia nie ma problemu, bo umiemy je obliczać zarówno dla liczb dodatnich jak i ujemnych ( dlatego jeżeli n jest nieparzyste to możemy odrazu "skrócić" pierwiastek z potęgą i  otrzymamy  poprostu a). Teraz zwróć uwagę jak to wygląda, jeżeli n jest liczbą parzystą. Spójrz na przykład poniżej. To samo działanie liczymy na dwa sposoby:

 1) bez skracania pierwiastka ( najpierw potęgujemy liczbę pod pierwiastekiem, a następnie wyciągamy pierwiastek):

\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2

W przypadku, gdy n jest liczbą parzystą, "skracając"  pierwiastek z potęgą, musimy zastosować wartość bezwzględna, aby otrzymać to co powyżej. Bez tego otrzymalibyśmy inny wynik, przy tym samym działaniu! 

2) "skracamy" pierwiastek z potęgą ( w wyniku musimy otrzymać liczbę dodatnią, bo pierwiastek jest parzystego stopnia):

\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2

 

Przykład:

\sqrt[3]{5^3} = 5

\sqrt[4]{(-2)^4} = |-2|=2


Zadanie 428

Oblicz \cfrac{\sqrt{32}-\cfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{2}}}{\left(\cfrac{1}{\sqrt{2}}-\cfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^0} * \sqrt{8}.

Zadanie 1036

Wynikiem działania \cfrac{ \sqrt[3]{-8} * \sqrt[3]{-27} }{\sqrt{9}} jest:

Zadanie 1673

Oblicz:

\cfrac{\left(\cfrac{1}{2}\right)^{-1}}{\left(\cfrac{3}{4}+1\right)^2}-\cfrac{2}{5}:2* \left(-\cfrac{1}{\sqrt[3]{27}}\right).

7 komentarzy

  1. Xolaa99x 20120115120110 thumb
    xolaa99x 06.02.2012 20:28

    Bardzo dobrze wytłumaczone :)

  2. Default avatar
    Cerber789 11.03.2012 21:05

    tam, gdzie jest wartość bezwzględna - a co jeśli mamy -a do sześcianu, pod pierwiastkiem 3go stopnia ?

  3. Default avatar
    konto-usuniete 16.03.2012 21:27

    \sqrt[3]{(-a)^3}=-a

  4. Default avatar
    Campanula 10.05.2012 10:25

    Dlaczego we wzorze dotyczącym pierwiastka ilorazu b jest większe od zera? Czy nie powinno być różne od zera?

  5. Default avatar
    d_a_r_k 13.10.2013 11:48

    W przykładzie "dopasuj elementy" w odpowiedzi jest |a, powinno być |a|

  6. Default avatar
    PozytywK 08.01.2015 16:20

    Liceum? My to mamy w drugiej gimnazjum... @Cerber789 Jeżeli Mamy pierwiastek sześcienny i a do sześcianu, to się wzajemnie niwelują i mamy a bez potęgi i pierwiastka...

  7. Default avatar
    natix55 01.10.2015 17:28

    dziękuję, bardzo przydatne informacje :)

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz