malgorzata

Zgodnie z definicją logarytmu, musimy znaleźć liczbę $n$ taką, że

$(\cfrac{2}{3})^n=\cfrac{8}{125}$

Zaważ, że:
$2^3=8$
$5^3=125$

Czyli:

$\cfrac{8}{125}=(\cfrac{2}{3})^3$

Dlatego szukana liczba to $3$.

$\sin1^{\circ}+\cos 1^{\circ}=a$
Podnosimy obustronnie równanie do kwadratu:
$(\sin1^{\circ}+\cos 1^{\circ})^2=a^2$
$\sin^21^{\circ}+2\sin1^{\circ}\cos 1^{\circ}+ \cos ^21^{\circ}=a^2$

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej , czyli $\sin^21^{\circ}+ \cos ^21^{\circ}=1$, czyli otrzymujemy:

$2\sin1^{\circ}\cos 1^{\circ}+ 1=a^2$
$2\sin1^{\circ}\cos 1^{\circ}=a^2-1$
$\sin1^{\circ}\cos 1^{\circ}=\cfrac{1}{2}(a^2-1)$

$\sin1^{\circ}+\cos 1^{\circ}=a$
Podnosimy obustronnie równanie do kwadratu:
$(\sin1^{\circ}+\cos 1^{\circ})^2=a^2$
$\sin^21^{\circ}+2\sin1^{\circ}\cos 1^{\circ}+ \cos ^21^{\circ}=a^2$

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej , czyli $\sin^21^{\circ}+ \cos ^21^{\circ}=1$, czyli otrzymujemy:

$2\sin1^{\circ}\cos 1^{\circ}+ 1=a^2$
$2\sin1^{\circ}\cos 1^{\circ}=a^2-1$
$\sin1^{\circ}\cos 1^{\circ}=\cfrac{1}{2}(a^2-1)$

$f(x)=\begin{cases}
2x-4& x<5 \\
0& x=5 \\
x& x>5
\end{cases}
$
Funkcja $f$ jest określona trzema wzorami, w zależności od tego do jakiego przedziału należą argumenty tej funkcji.

Weźmy pod uwagę pierwszy przedział, tzn $x <5$. W tym przedziale funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=2x-4$. Aby narysować wykres funkcji liniowej, musimy wyznaczyć dwa punkty należące do tej funkcji. W pierwszym przedziale musimy wybrać punkty, mniejsze od $5$. Np.
$f(0)=2\cdot 0-4=-4$
$f(2)=2\cdot 2-4=0$
Wyznaczyliśmy dwa punkty:
$A=(0,-4)$
$B=(2,0)$

W drugim przypadku mamy tylko jeden punkt. Zatem na wykresie zaznaczamy, że dla argumentu $x=5$ funkcja przyjmuje wartość $0$.

W trzecim przypadku, argumenty $x$ należą do przedziału $(5, +\infty)$ i w tym przedziale funkcja przyjmuje wartości równe swoim argumentom, np. Dla $x=6$ funkcja także ma wartość $6$, dla $x=7$ funkcja ma także wartość $7$ itd.

Wykres funkcji znajduje się w załączniku.
Jeżeli chodzi o miejsca zerowe, to jest to taki argument dla którego funkcja przyjmuje wartość zero.
Od razu z wzoru funkcji możemy odczytać, że wartość zero funkcja przyjmuje dla $x=5$.
Sprawdzamy także czy w pozostałych przedziałach funkcja ma miejsca zerowe.

Weźmy pierwszy przedział
$f(x)=2x-4$
Porównujemy wartości funkcji do zera:
$2x-4=0$
$2x=4$
$x=2$ - ten argument należy do przedziału $(-\infty,5)$ dlatego jest miejscem zerowym.


W trzecim przypadku, funkcja nie ma miejsc zerowych, bo możliwe jej wartości w tym przedziale są większe od $5$, zatem nigdy nie przyjmie tam wartości zero.

Pierwszą rzeczą jaką należy zrobić w tym zadaniu, to określenie jakie wartości może przyjmować zmienna losowa.
Oznaczmy tą zmienną jako $X$. Wartości zmiennej losowej, to liczba punktów jakie możemy uzyskać losując kartę. Zgodnie z treścią zadania mamy: $0,1,2,3,4$.
Liczba wszystkich kart to $24$. Mamy wśród nich karty od $9$ do Asa.

Jeżeli wylosujemy:
- $9$ lub $10$ to niestety ale żadnych punktów nie dostaniemy.
- waleta to dostaniemy 1 pkt.
- damę to dostaniemy 2 pkt.
- króla to dostaniemy 3 pkt.
- asa to dostaniemy 4 pkt.

Wśród tych 24 kart mamy po 4 karty z każdej figury.

Jakie jest zatem prawdopodobieństwo, że dostaniemy $4$ pkt? Mamy $4$ asy, a wszystkich kart jest $24$, zatem:
$P(X=4)=\cfrac{4}{24}=\cfrac{1}{6}$

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dostaniemy $3$ pkt? Mamy $4$ króle, a wszystkich kart jest $24$, zatem:
$P(X=3)=\cfrac{4}{24}=\cfrac{1}{6}$


Jakie jest prawdopodobieństwo, że dostaniemy $2$ pkt? Mamy $4$ damy, a wszystkich kart jest $24$, zatem:
$P(X=2)=\cfrac{4}{24}=\cfrac{1}{6}$

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dostaniemy $1$ pkt? Mamy $4$ walety, a wszystkich kart jest $24$, zatem:
$P(X=1)=\cfrac{4}{24}=\cfrac{1}{6}$

Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie dostaniemy pkt? Mamy $8$ takich kart (cztery $9$ i cztery $10$), a wszystkich kart jest $24$, zatem:
$P(X=0)=\cfrac{8}{24}=\cfrac{1}{3}$

Wtedy:

- $0 \leq x <1$
$F(x)=P(X\leq x)=P(X=0)=\cfrac{1}{3}$

- $1 \leq x < 2$
$F(x)=P(X \leq x)=P(X=0)+P(X=1)=\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{2}$

- $2 \leq x < 3$
$F(x)=P(X\leq x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{3}$

- $3 \leq x < 4$
$F(x)=P(X \leq x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=$ $\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}$

- $ x \geq 4$
$F(x)=P(X \leq x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+$ $P(X=4)=\cfrac{1}{3}+$ $\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}=1$

$A$ - zdarzenie polegające na zaliczeniu kolokwium
$A'$ - zdarzenie polegające na nie zaliczeniu kolkwium
$q=P(A)=0,7$
$p=P(A')=0,3$


W zadaniu tym należy skorzystać z wzoru Bernoulliego. Chcemy osiągnąć przynajmniej 22 sukcesy w 25 próbach. Zaliczenie kolokwium przez jednego studenta, możemy potraktować jak jedną próbę w doświadczeniu Bernoulliego. W tym zadaniu łatwiej będzie posługiwać się zdarzeniem przeciwnym.

$X$ - zmienna losowa, która określa ile osób nie zaliczyło kolokwium. Zatem może przyjmować wartości od $0$ do $25$. Nas będą interesować przypadki, gdy przyjmuje wartości $0,1,2$ lub $3$

Zatem:
$n=25$ - tyle mamy możliwych prób do wykonania ( bo tyle mamy studentów, każdy z nich może zaliczyć lub każdy z nich może oblać)
Potraktujmy jako nasz sukces to, że student nie zaliczy ( dlatego w ten sposób, że rozwiązujemy zadanie przez zdarzenie przeciwne).
$k \in \{0,1,2,3\}$ - tyle chcemy mieć "sukcesów".

1) $n=25,\ k=3$
Podstawiamy dane do wzoru Bernoulliego:
$P(X=3)=\binom{25}{3} 0,3^3 \cdot 0,7^{25-3}$

2) $n=25,\ k=2$
$P(X=3)=\binom{25}{2} 0,3^2 \cdot 0,7^{25-2}$

3) $n=25,\ k=1$
$P(X=1)=\binom{25}{1} 0,3^1 \cdot 0,7^{25-1}$

4) $n=25,\ k=0$
$P(X=0)=\binom{25}{0} 0,3^0 \cdot 0,7^{25-0}$


Po wykonaniu powyższych obliczeń wszystkie prawdopodobieństwa należy do siebie dodać. Ponieważ obliczamy to zadanie stosując zdarzenie przeciwne, to aby podać właściwą odpowiedź do zadania należy ostatecznie jeszcze wykonać rachunek:

$1-P(X=3)-P(X=2)-P(X=1)-P(X=0)$

Aby znaleźć pierwiastki wielomianu, każde z wyrażeń w nawiasie (czynniki wielomianu) porównujemy do zera:

$x^2+16=0$
$x^2=-16$ - tego nie da się rozwiązać wiec jest to równanie sprzeczne


$x-25=0$
$x=25$ Stąd otrzymaliśmy pierwiastek wielomianu.

a) Oznaczmy szukaną prostą jako $y=ax+b$. Aby znaleźć równanie tej prostej, musimy wyznaczyć wartości współczynników $a$ i $b$.

W zadaniu mamy podane dwa warunki, na podstawie których obliczmy wartości tych dwóch współczynników.

Pierwszą rzeczą jaką wiemy jest to, że ta nasza szukana prosta jest prostopadła do prostej o równaniu $y=-\cfrac{3}{5}x+2$.
Jeżeli dwie proste są prostopadłe to iloczyn ich współczynników przy zmiennej $x$ jest równy $-1$. Dlatego:
$a\cdot ( -\cfrac{3}{5})=-1$
$a=\cfrac{5}{3}$

Zatem szukane równanie możemy już zapisać jako:
$y=\cfrac{5}{3}x+b$

Drugi współczynnik obliczymy korzystając z tego, że ta szukana prosta przechodzi przez punk $A$. Oznacza to, że współrzędne tego punku, spełniają równanie tej prostej. Podstawiamy zatem współrzędne punku $A$ do równania prostej:
$-1=\cfrac{5}{3}\cdot (-2)+b$
$-1+\cfrac{10}{3}=b$
$b=\cfrac{7}{3}$

Zatem równanie szukanej prostej, to:
$y=\cfrac{5}{3}x+\cfrac{7}{3}$

Podpunkt b) analogicznie.

Ogólne równanie okręgu, to:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
gdzie
$S=(a,b)$ - środek okręgu
$r$ promień tego okręgu

Aby rozwiązać to zadanie, wystarczy podstawić dane do tego właśnie wzoru.

a)
$(x-(-4))^2+(y-2)^2=(2\sqrt{5})^2$
$(x+4)^2+(y-2)^2=20$

Przykład b) analogicznie.

Dane:
$60\ m$ - obwód prostokąta
Prostokąt ma mieć największe pole.

Szukane:
$a,\ b$ - boki prostokąta

Rozwiązanie:

Oznaczyliśmy boki prostokąta jako $a$ i $b$. Wtedy obwód prostokąta wynosi:
$Obw=2a+2b$

W treści zadania mamy dane, że obwód wynosi $60\ m$. Dlatego:
$2a+2b=60$
Obliczmy zależność jedno boku od drugiego:
$a+b=30$
$b=30-a$

Aby znaleźć wymiary $a$ i $b$ prostokąta o największym polu, musimy ułożyć funkcję która opisywałaby nam pole. Nazwijmy tą funkcję $p$.

Pole prostokąta obliczamy mnożąc długości jego boków dlatego:

$p=a\cdot b$

Ale wiemy też z poprzednich obliczeń, że $b=(30-a)$, stąd:

$p(a)=a\cdot (30-a)=-a^2+30a$

Ułożyliśmy wzór funkcji, której wartością jest pole prostokąta, w zależności od długości boków. Obliczmy teraz, gdzie przyjmuje największą wartość. Jest to funkcja kwadratowa, zatem największa jej wartość znajduje się w wierzchołku i ta wartość jest przyjmowana dla argumentu

$a=-\cfrac{30}{-2}=15$

Zatem, obliczyliśmy już długość jednego boku tego prostokąta. Obliczymy drugi bok prostokąta:

$b=30-a=30-15=15$

Zatem oba boki mają taką samą długość $15\ m$.