Różne przekroje ostrosłupów.

Poniżej kilka przykładów przekrojów ostrosłupów płaszczyzną:

  •  Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa.

 

  • Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość ostrosłupa:

  •  Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środki przeciwległych krawędzi bocznych:

  • Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krótszą przekątną podstawy i krawędź boczną:

 

  • Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez dłuższą przekątną podstawy i krawędź boczną:

Przykład 1

Kąt między ścianami ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 2\alpha. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość a. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy oraz krawędź boczną.

W zadaniu mamy obliczyć pole powierzchni następującego przekroju:

Zatem musimy znać wysokość H ostrosłupa, oraz przekątną podstawy. Wówczas z wzrou

P=\cfrac{|BD| * H}{2}

obliczymy szukane pole. W treści zadania mamy dane dwie rzeczy: długość krawędzi podstawy a oraz kąt między ścianami bocznymi 2\alpha.

 

Na powyższym obrazku odcinek BE oraz DE są prostopadłe do krawędzi CS. Ponieważ podstawą ostrosłupa jest kwadrat, to przekątna podstawy ma długość a\sqrt{2}. Pozostaje nam do obliczenia wysokość ostrosłupa. Skorzystamy z podobieństwa trójkątów. Spójrz na poniższy rysunek:

 

Trójkąt OSC  jest podobny do trójkąta OEC, ponieważ mają takie same kąty. Zauważ, że oba trójkąty mają kąty proste oraz wspólny kąt przy wierzchołku C. Prawdziwa jest zatem proporcja:

\cfrac{|CE|}{|EO|}=\cfrac{|OC|}{|OS|}

Odcinek |OC| jest to połowa długości przekątnej, dlatego ma długość

|OC|=\cfrac{a\sqrt{2}}{2}.

Wprowadzimy oznaczenia:

H=|OS|

h=|OE|

x=|CE|

Przy tych oznaczeniach proporcja wygląda następująco:

\cfrac{x}{h}=\cfrac{\cfrac{a\sqrt{2}}{2}}{H}

Teraz przejdziemy do wyznaczenia długości poszczególnych odcinków w tej proporcji, aby móc wyznaczyć wysokość ostrosłupa.

Weźmy pod uwagę trójkąt OBE:

Odcinek OB to połowa długości przekątnej, dlatego ma dlugość

|OB|=\cfrac{a\sqrt{2}}{2}.

Obliczamy h:

\tan\alpha=\cfrac{\cfrac{a\sqrt{2}}{2}}{h}

 

h=\cfrac{a\sqrt{2}}{2\tan\alpha}

Rozważmy drugi trójkąt OCE:

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do tego trójkąta, obliczymy długość odcinka |CE|:

h^2+x^2=(\cfrac{a\sqrt{2}}{2})^2

h^2+x^2=\cfrac{2a^2}{4}

x^2=\cfrac{a^2}{2}-h^2

x^2=\cfrac{a^2}{2}-(\cfrac{a\sqrt{2}}{2\tan\alpha})^2=\cfrac{a^2}{2}-\cfrac{a^2 * 2}{4\tan^2\alpha}=\cfrac{a^2}{2}-\cfrac{a^2 }{2\tan^2\alpha}=a^2(\cfrac{\tan^2\alpha-1}{2\tan^2\alpha})

x=\sqrt{a^2(\cfrac{\tan^2\alpha-1}{2\tan^2\alpha})}=\cfrac{a}{\tan\alpha}\sqrt{\cfrac{\tan^2\alpha-1}{2}}

Wyznaczyliśmy długości wszystkich potrzebnych odcinków, wracamy do proporcji:

\cfrac{x}{h}=\cfrac{\cfrac{a\sqrt{2}}{2}}{H}

H=\cfrac{ah\sqrt{2}}{2x}

Obliczamy długość wysokości:

H=\cfrac{a* \cfrac{a\sqrt{2}}{2\tan\alpha} * \sqrt{2}}{2 * \cfrac{a}{\tan\alpha} \sqrt{\cfrac{\tan^2\alpha-1}{2}} }=\cfrac{a}{\sqrt{2(\tan^2\alpha-1)}}

Znamy już wysokość ostrosłupa, możemy obliczyć pole przekroju:

P=\cfrac{1}{2}* |BD| * H=\cfrac{1}{2}* \cfrac{a\sqrt{2}}{2}* \cfrac{a}{\sqrt{2(\tan^2\alpha-1)}}=\cfrac{a^2}{4\sqrt{\tan^2\alpha-1}}

 


Zadanie 314

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego poprowadzona z wierzchołka tego ostrosłupa ma długość \sqrt{3}. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeżeli kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa jest prosty.

Zadanie 316

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt między przeciwległymi ścianami bocznymi tego ostrosłupa wynosi 60^{\circ}. Oblicz objętość tego ostrosłupa i pole powierzchni bocznej jeżeli krawędź podstawy ma długość \sqrt{6} .

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz