Obliczanie wartości na podstawie wzoru ogólnego ciągu

0

Spis treści

  1. Wartości ciągu na podstawie wzoru ogólnego.
  2. Obliczanie ilości wyrazów ciągu spełniających zadane kryteria.
  3. Rekurencyjne obliczanie wyrazów ciągu.

Wartości ciągu na podstawie wzoru ogólnego.

Mając wzór na wyraz ogólny ciągu  możemy obliczyć jego wyrazy.

[tex]n[/tex] we wzorze ogólnym ciągu jest liczbą naturalną począwszy od [tex]1[/tex] - określa numer liczonego wyrazu.

 

Przykład 1

Wyznacz cztery kolejne wyrazu ciągu danego wzorem ogólnym [tex]a_n = 3n + 2^n[/tex].

 

Liczymy wyraz pierwszy, we wzorze na [tex]a_n[/tex] podstawiamy [tex]n=1[/tex]

[tex]a_1 = 3 \cdot 1 + 2^1 = 3 + 2 = 5[/tex]

oraz kolejne trzy wyrazy

[tex]a_2 = 3 \cdot 2 + 2^2 = 6 + 4 = 10[/tex]

[tex]a_3 = 3 \cdot 3 + 2^3 = 9 + 8 = 17[/tex]

[tex]a_4 = 3 \cdot 4 + 2^4 = 12 + 16 = 28[/tex]

 

Przykład 2

Wyznacz piąty wyrazu ciągu [tex](b_n)[/tex] danego wzorem ogólnym [tex]b_n = 3n -4[/tex].

 

Za [tex]n[/tex] we wzorze na wyraz ciągu [tex](b_n)[/tex] podstawiamy [tex]5[/tex], otrzymujemy:

[tex]b_5 = 3 \cdot 5 - 4 = 15 - 4 = 11[/tex]

 

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej.
Jeżeli $a_n = 4^{n-2}$ to $a_1$ wynosi:
Jeżeli $b_n = 3n^2+2n$ to $b_5$ wynosi:
Jeżeli $c_n = 2\sqrt{n}+n^2$ to $c_4$ wynosi:
$\cfrac{1}{4}$
$85$
$20$

Obliczanie ilości wyrazów ciągu spełniających zadane kryteria.

Do góry

Jeżeli mamy dany wzór ogólny ciągu to możemy obliczyć ile jest wyrazów spełniających określone kryterium.

Przykład 3

Wyznacz wszystkie ujemne wyrazy ciągu [tex](a_n)[/tex] danego wzorem ogólnym [tex]a_n = 3n - 18[/tex].

 

Rozwiązujemy nierówność [tex]a_n < 0[/tex] ze względu na [tex]n[/tex], które jest naturalne począwszy od [tex]1[/tex].

Mamy

[tex]3n - 18 < 0[/tex]

[tex]3n < 18[/tex]

[tex]n < 6[/tex]

Zatem wyrazów ciągu [tex](a_n)[/tex] ujemnych jest [tex]5[/tex] dla [tex]n=\{1, 2, 3, 4, 5\}[/tex].

 

Przykład 4

Ciąg [tex](b_n )[/tex] dany jest wzorem [tex]b_n = 5n^2[/tex]. Sprawdź czy istnieje wyraz tego ciągu równy [tex]125[/tex].

 

Rozwiązujemy równość [tex]b_n = 125[/tex] ze względu na [tex]n[/tex], które jest naturalne począwszy od [tex]1[/tex].

Mamy

[tex]5n^2 = 125[/tex]

[tex]n^2 = 25[/tex]

[tex]n = 5 \vee n = -5[/tex]

ponieważ [tex]n[/tex] jest naturalne więc mamy

[tex]n=5[/tex]

Zatem piąty wyraz ciągu [tex](b_n)[/tex] jest równy [tex]125[/tex].

 

Przykład 5

Ciąg [tex](c_n )[/tex] dany jest wzorem [tex]c_n = 5n^2[/tex]. Sprawdź czy istnieje wyraz tego ciągu równy [tex]120[/tex].


Rozwiązujemy równość [tex]c_n = 120[/tex] ze względu na [tex]n[/tex], które jest naturalne począwszy od [tex]1[/tex].

Mamy

[tex]5n^2 = 120[/tex]

[tex]n^2 = 24[/tex]

[tex]n = \sqrt{24} \vee n = -\sqrt{24}[/tex]

[tex]n = 2\sqrt{6} \vee n = -2\sqrt{6}[/tex]

ponieważ [tex]n[/tex] musi być naturalne, zatem nie istnieje wyraz ciągu [tex](c_n)[/tex] taki, że [tex]c_n = 120[/tex] .

 

Przykład 6

Ile jest wyrazów ciągu [tex]d_n = 4n-12[/tex] większych od [tex]-2[/tex] i nie większych od [tex]2[/tex]?

 

Rozwiązujemy nierówności

[tex]d_n > -2 \wedge d_n \leq 2[/tex]

z pierwszego warunku mamy

[tex]4n - 12 > -2[/tex]

[tex]4n > 10[/tex]

[tex]n > \cfrac{10}{4}[/tex]

[tex]n > \cfrac{5}{2}[/tex]

ponieważ [tex]n[/tex] jest naturalne to:

[tex]n \in \{ 3, 4, 5, ... \}[/tex]

Z drugiego warunku mamy

[tex]4n - 12 \leq 2[/tex]

[tex]4n \leq 14[/tex]

[tex]n \leq \cfrac{14}{4}[/tex]

[tex]n \leq \cfrac{7}{2}[/tex]

ponieważ [tex]n[/tex] jest naturalne to:

[tex]n \in \{ 1, 2, 3 \}[/tex]

[tex]n[/tex] musi spełniać obie nierówności jednocześnie, czyli:

[tex]n \in \{ 3, 4, 5, ... \} \wedge n \in \{ 1, 2, 3 \}[/tex]

Jest tylko jedna liczba, która należy do obu zbiorów jednocześnie, jest to:

[tex]n=3[/tex]

Otrzymujemy, że tylko  trzeci wyraz ciągu  [tex](d_n)[/tex] spełnia warunki zadania.

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • Ciąg dany wzorem $a_n=n^2 - 8n$ ma $7$ wyrazów ujemnych.
  • Ciąg dany wzorem $b_n=3 - 7n$ nie ma wyrazu równego $-32$
  • Pierwszym dodatnim wyrazem ciągu $c_n=2^n - 2n$ jest wyraz trzeci.

Rekurencyjne obliczanie wyrazów ciągu.

Do góry

Znając  wzór na sumę [tex]n[/tex] początkowych wyrazów ciągu możemy obliczyć rekurencyjnie kolejne wyrazy ciągu.

[tex]a_n = S_n - S_{n-1}[/tex]

Wynika to z faktu, że

[tex]S_n = S_{n-1} + a_n[/tex], dla [tex]n > 1[/tex]

Przykład 7

Znajdź trzeci i czwarty wyraz ciągu, którego suma wynosi [tex]S_n = 3 \cdot {\cfrac{n+1}{n}}[/tex].

 

Liczymy wyraz trzeci

[tex]a_3 = S_3 - S_2 = 3 \cdot {\cfrac{3+1}{3}} - 3 \cdot  {\cfrac{2+1}{2}} = 4 - \cfrac{9}{2} = \cfrac{8}{2} - \cfrac{9}{2} = -\cfrac{1}{2}[/tex]

liczymy wyraz czwarty

[tex]a_4 = S_4 - S_3 = 3 \cdot  \cfrac{4+1}{4} - 3 \cdot   \cfrac{3+1}{3} = 3 \cdot  \cfrac{5}{4}  - 4 = \cfrac{15}{4} - \cfrac{16}{4} = -\cfrac{1}{4}[/tex]

 

Przykład 8

Znajdź piąty wyraz ciągu, którego suma wynosi [tex]S_n = 2^n + 1[/tex].

 

Liczymy wyraz piąty

[tex]a_5 = S_5 - S_4 = 2^5 + 1 - (2^4 + 1) = 2^5 + 1 - 2^4 - 1 = 2^5 - 2^4[/tex]

[tex]a_5 = 2^5 - 2^4 = 32-16 = 16[/tex]

 

Przykład 9

Znajdź pierwszy wyraz ciągu, którego suma wynosi [tex]S_n = 3n+7[/tex].

 

Zauważmy, że  [tex]a_1=S_1[/tex].

[tex]a_1  = 3 \cdot 1 + 7 = 3 + 7 = 10[/tex]

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej.
Jeżeli $S_n = 4n+3$ to $a_4$ jest równe:
Jeżeli $S_n = 3n^2+3$ to $a_{10}$ jest równe:
Jeżeli $S_n =n + (-1)^n$ to $a_3$ jest równe:
$ 4 $
$57$
$ -1 $


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (4):

Liceum » Ciągi liczbowe » #22
1

Dany jest ciąg   [tex](a_n)[/tex]  określony wzorem [tex]a_n=\cfrac{3n^2}{n^2-n+1}[/tex] dla [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]. Oblicz [tex]a_2,\ a_4,\ a_5[/tex].

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (6)
Liceum » Ciągi liczbowe » #43
0

Dany jest ciąg [tex](b_n)[/tex], o wyrazie ogólnym [tex]b_n=3n^2-5n[/tex]. Oblicz sumę trzech początkowych wyrazów tego ciągu.

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (8)
Liceum » Ciągi liczbowe » #44
0

Znajdź wyrazy ciągu [tex](a_n)\ n \in \mathbb{N}[/tex] danego wzorem ogólnym [tex]a_n=2n^2-6n-5[/tex], które są równe [tex]15[/tex].

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (2)
Liceum » Ciągi liczbowe » #35
0

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg [tex](a_n)[/tex] określony wzorem [tex]a_n=\cfrac{1}{4}n^2-3n+5[/tex] dla [tex]n \geq 1[/tex]?

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (6)

Komentarze (
0
):