Twiedzenie sinusów i cosinusów.

0

Spis treści

  1. Twierdzenie sinusów.
  2. Twierdzenie cosinusów.

Twierdzenie sinusów.

Twierdzenie: Sinusów

W dowolnym trójkącie, stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego na przeciw tego boku jest równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

[tex]\cfrac{a}{\sin\alpha}=\cfrac{b}{\sin\beta}=\cfrac{c}{\sin\gamma}=2R[/tex]

 

 

Przykład 1

Trójkąt [tex]ABC[/tex] jest wpisany w okrąg o promieniu [tex]R=\sqrt{6}[/tex]. Trójkąt [tex]ABC[/tex] ma kąty o miarach [tex]45^{\circ},\ 60^{\circ},\ 75^{\circ}[/tex]. Oblicz długości boków trójkąta [tex]ABC[/tex].

Z twierdzenia sinusów wiemy, że:

[tex]\cfrac{a}{\sin 60^{\circ}}=\cfrac{b}{\sin 75^{\circ}}=\cfrac{c}{\sin 45^{\circ}}=2\sqrt{6}[/tex]

[tex]\sin 60^{\circ}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex]\sin 45^{\circ}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

 

Wartość [tex]\sin 75^{\circ}[/tex] obliczymy korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów:

[tex]\sin 75^{\circ}=\sin (45^{\circ}+30^{\circ})=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}=[/tex]

[tex]=\cfrac{\sqrt{2}}{2}  \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex]

 

Obliczamy długości kolejnych boków trójkąta:

[tex]\cfrac{a}{\cfrac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{6}[/tex]

[tex]a=3\sqrt{2}[/tex]

 

[tex]\cfrac{b}{\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=2\sqrt{6}[/tex]

[tex]b=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \cdot 2\sqrt{6}=\cfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})\cdot \sqrt{6}}{2} =3+\sqrt{3}[/tex]

 

[tex]\cfrac{c}{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{6}[/tex]

[tex]c=\cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{6}=2\sqrt{3}[/tex]

 

Długości boków trójkąta [tex]ABC[/tex] to:

[tex]a=3\sqrt{2}[/tex]

[tex]b=3+\sqrt{3}[/tex]

[tex]c=2\sqrt{3}[/tex]

 

 

Do góry

Twierdzenie cosinusów.

Twierdzenie: Cosinusów

Dla dowolnego trójkąta, prawdziwe są następujące związki:

[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/tex]

[tex]b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta[/tex]

[tex]c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma[/tex]

 

Przykład 2

Oblicz długość boku [tex]b[/tex] trójkąta poniżej.

 

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność:

[tex](\sqrt{2})^2=b^2+b^2-2bb\cos 15^{\circ}[/tex]

[tex]2=2b^2-2b^2\cos 15^{\circ}[/tex]

 

[tex]\cos15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}=[/tex]

[tex]=\cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot   \cfrac{\sqrt{3}}{2} + \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2} =\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} [/tex]

 

[tex]2=2b^2(1-\cos 15^{\circ})[/tex]

[tex]1=b^2(1-\cos 15^{\circ})[/tex]

[tex]b^2=\cfrac{1}{1-\cos 15^{\circ}}=\cfrac{1}{1-\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\cfrac{4}{4-\sqrt{6}-\sqrt{2}}[/tex]

 [tex]b=\sqrt{\cfrac{4}{4-\sqrt{6}-\sqrt{2}}}=\cfrac{2}{\sqrt{4-\sqrt{6}-\sqrt{2}}}[/tex]

 

Do góry


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Komentarze (
0
):