Kwadrat

0

Własności kwadratu.

Definicja: Kwadrat

Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki taj samej długości.

Własności:

  • W kwadracie przekątne są równe, przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy

[tex]|AC|=|BD|[/tex]

  • Punkt przecięcia się przekątnych kwadratu jest środkiem okręgu opisanego, którego promień [tex]R[/tex] jest połową przekątnej kwadratu


[tex]R = \cfrac{a\sqrt{2}}{2}[/tex]

 

Przykład 1

Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie wynosi $ 4 $. Oblicz długość boku tego kwadratu.

 

Z treści zadania wiemy, że $R=4$, zatem:

 

 

[tex]4 = \cfrac{a\sqrt{2}}{2}[/tex]

Obliczamy $a$, czyli długość boku kwadratu:

[tex]8 = a\sqrt{2}[/tex]

[tex]a=\cfrac{8}{\sqrt{2}}[/tex]

Usuwamy niewymierność z mianownika:

[tex]a=\cfrac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}[/tex].

Długość boku kwadratu to $a=4\sqrt{2}$.

  • Punkt przecięcia się przekątnych kwadratu jest środkiem okręgu wpisanego, którego promień [tex]r[/tex] jest połową długości boku kwadratu

[tex]r = \cfrac{1}{2}a[/tex]

 

Przykład 2

Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest równa [tex]6[/tex]. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym kwadracie.

 

Z treści zadania wiemy, że $r=6$. Aby obliczyć długość promienia okręgu opisanego na kwadracie, musimy znać długość boku kwadratu, ponieważ

[tex]R = \cfrac{a\sqrt{2}}{2}[/tex].

 

Obliczamy długość boku kwadratu, korzystając ze wzoru, na długość promienia okręgu wpsanego w kwadrat:

 

[tex]r = \cfrac{1}{2}a[/tex]

Podstawiamy za r $6$:

[tex]6 = \cfrac{1}{2}a[/tex]

[tex]a=12[/tex]

Mając już długość boku kwadratu, obliczamy szukany promień:

[tex]R = \cfrac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}[/tex].

Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie, wynosi $6\sqrt{2}$.

Wzór: Pole kwadratu

Pole kwadratu o boku długości  [tex]a[/tex] wyraża się wzorem

[tex]P = a^2[/tex]

 

Przykład 3

Jeżeli pole kwadratu wynosi $10$, to jaką długość ma promień okręgu wpisanego w ten kwadrat?

 

Aby obliczyć dłguość promienia okręgu wpisanego w kwadrat, musimy znać długość boku tego kwadratu. Wtedy podstawiając $a$ do wzoru

$r=\cfrac{a}{2}$

obliczymy szukany promień. W treści zadania nie mamy danej długości boku kwadratu, ale za to wiemy ile wynosi pole tego kwadratu. Czyli:

[tex]a^2=10[/tex].

 Z podanej zależności, obliczymy długosć boku. Ponieważ długość boku nie może być wartością ujemną, to

[tex]a=\sqrt{10}[/tex].

Obliczamy długość szukanego promienia:

$r=\cfrac{a}{2}=\cfrac{\sqrt{10}}{2}$.

Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat wynosi $\cfrac{\sqrt{10}}{2}$.

Wzór: Obwód kwadratu

Obwód kwadratu o boku długości [tex]a[/tex] wyraża się wzorem

[tex]Obw = 4a[/tex]


 

Wzór: Długość przekątnej kwadratu

Długość przekątnej kwadratu o boku [tex]a[/tex] wyraża się wzorem

[tex]d = a\sqrt{2}[/tex]

Warto zwrócić uwagę na zależność przekątnej kwadratu i promienia okręgu opisanego na kwadracie:

$d=2R$

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą, a co fałszem.
    Approved-icon Alert-icon
  • Jeżeli [tex]d=2\sqrt{2}[/tex], to [tex]P=4[/tex].
  • Jeżeli $R=6$, to $d=12$.
  • Jeżeli [tex]P=25[/tex], to [tex]R=\cfrac{5\sqrt{2}}{2}[/tex].


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (1):

Liceum » Figury płaskie (Planimetria) » #472
0

Dany jest kwadrat  [tex]ABCD[/tex] o boku długości [tex]a[/tex]. Punkty [tex]K[/tex] i [tex]L[/tex] są środkami boków kwadratu. Oblicz długość odcinka [tex]MN[/tex].

P
D
Zobacz rozwiązanie

Komentarze (
0
):