Jesteś w: Matematyka
»
Tablice matematyczne
»
Liceum
»
Figury płaskie (Planimet...
»
Prostokąt

Prostokąt

Własności prostokąta.

Definicja: Prostokąt

Prostokąt to czworokąt, którego wszystkie kąty są proste.

Wzór: Obwód prostokąta

Obwód prostokąta o bokach [tex]a,\ b[/tex] wyraża się wzorem

[tex]Obw = 2a + 2b[/tex]

Przykład 1

Oblicz długości boków prostokąta, jeżeli wiadomo, że obwód tego prostokąta wynosi $16$, a stosunek długości jego boków wynosi [tex]1:3[/tex].

Wprowadzamy następujące oznaczenia:

[tex]a[/tex] - długość krótszego boku

[tex]3a[/tex] - długość dłuższego boku ( Dłuższy bok jest trzy razy dłuższy od krótszego, ze względu na to, że proporcja między długością boków wynosi $1:3$.

W prostokącie mamy dwa boki krótsze i dwa boki dłuższe. Obwód całego prostokąta to suma długości jego wszystkich boków:

[tex]2\cdot a +2 \cdot 3a=2a+6a=8a[/tex].

Z treści zadania wiemy też, że obwód prostokąta wynosi $16$, dlatego:

[tex]8a=16[/tex]

[tex]a=2[/tex]

Obliczyliśmy długość krótszego boku. Długość dłuższego boku, to

[tex]3a=6[/tex].

Długości boków prostokąta to [tex]2[/tex] i $6$.

Wzór: Pole prostokąta

Pole prostokąta o bokach [tex]a,\ b[/tex] wyraża się wzorem

[tex]P = a \cdot b[/tex]

Przykład 2

Jak zmieni się pole kwadratu, jeżeli długość każdego z jego boków zwiększymy dwukrotnie?

Wprowadźmy oznaczenia:

[tex]a,\ b[/tex] - długości boków kwadratu przed zmianą

Wtedy pole tego prostokąta wynosi:

[tex]P_1=ab[/tex]

Jeżeli długość każdego z boków zwiększymy dwukrotnie, to będą one wynosić:

[tex]2a,\ 2b[/tex].

Wtedy pole prostokąta to:

[tex]P_2=2a\cdot 2b=4ab[/tex]

Liczymy iloraz, aby sprawdzić jak zmieniło się pole:

[tex]\cfrac{P_2}{P_1}=\cfrac{4ab}{ab}=4[/tex].

Pole prostokąta po zmianach zwiększy się czterokrotnie.

Wzór: Długość przekątnej prostokąta

Długość przekątnej prostokąta o bokach [tex]a, \ b[/tex] wyraża się wzorem:

[tex]d = \sqrt{a^2 + b^2}[/tex]

Własności:

Prostokąt jest równoległobokiem
W prostokącie przekątne są równe i dzielą się na połowy

[tex]|AC|=|BD|[/tex]

Punkt przecięcia się przekątnych prostokąta jest środkiem okręgu opisanego na tym prostokącie

[tex]d = |DB| = |AC|[/tex] - długość każdej przekątnej

[tex]R = \cfrac{1}{2}d[/tex] - długość promienia okręgu opisanego na prostokącie

Do góry

Zaznacz co jest prawdą, a co fałszem.

Przekątna prostokąta o długościach boków [tex]4[/tex] i $1$ wynosi $\sqrt{17}$.
Jeżeli pole prostokąta wynosi $6$,a jego obwód $10$, to długości boków prostokąta to $3$ i $5$.