Funkcja - podstawowe pojęcia. Odczytywanie wartości z wykresu.

Spis treści

Dziedzina funkcji.
Zbiór wartości funkcji.
Miejsce zerowe funkcji.
Monotoniczność funkcji.

Dziedzina funkcji.

Teraz przejdziemy do wyjaśnienia kilku pojęć związanych z funkcjami. Sposoby definiowania funkcji za pomocą tabeli, opisu słownego, wykresu i wzoru zostały omówione w poprzednich naukach.

Funkcja [tex]f[/tex] przyporządkowuje elementom ze zbioru [tex]X[/tex] elementy zbioru [tex]Y[/tex].

[tex]f: X \rightarrow Y[/tex]

Definicja: Dziedzina funkcji.

Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich jej argumentów (zmiennych niezależnych).

Przy powyższych oznaczeniach dziedziną funkcji jest zbiór [tex]X[/tex].

Przykłady 1

Funkcja jest przedstawiona za pomocą wykresu ( na rysunku poniżej). Na czerwono została zaznaczona dziedzina tej funkcji, czyli zbiór wszystkich [tex]x[/tex] dla których funkcja przyjmuje jakąś wartość. W tym wypadku jest to przedział [tex][-3,4][/tex]

Funkcja została opisana za pomocą tabeli:

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich argumentów czyli [tex]\{1,2,3,4,5\}[/tex]

Teraz zadanie dla Ciebie. Poniżej znajduje się kilka wykresów funkcji. Określ czy ich dziedzina została prawidłowo określona.

Rys.1

Rys.2

Rys.3

Do góry

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Dziedzina funkcji na Rys.1 to $(-3,3) $
Dziedzina funkcji na Rys.2 to $[-1,4]$
Dziedzina funkcji na Rys.3 to $(-8,8)$

Zbiór wartości funkcji.

Do góry

Definicja: Zbiór wartości funkcji.

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór tych [tex]y \in Y[/tex], które są wartościami funkcji [tex]f[/tex]. Czyli istnieje taki [tex]x \in X[/tex], że [tex]y=f(x) [/tex].

Innymi słowy mówiąc, jest to zbiór wszystkich tych wartości które otrzymujemy po podstawieniu do wzoru funkcji [tex]f/tex] elementów z dziedziny funkcji.

Zobacz jak wygląda to na przykładach.

Przykład 2

Spójrz na wykres funkcji na poniższym rysunku (zaznaczony kolorem niebieskim). Kolorem czerwonym został zaznaczony zbiór wartości tej funkcji. Czyli zbiór wszystkich [tex]y[/tex], które są wartościami funkcji dla pewnego argumentu. W tym przypadku zbiorem wartości funkcji jest suma przedziałów [tex][-4,5]\cup(6,11)[/tex].

Jeżeli funkcja jest opisana za pomocą tabeli, jak poniżej:

to zbiorem wartości są liczby ze zbioru [tex]\{1,4,9,16,25\}[/tex].

Do góry

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie ze zbioru $X=\{1,2,3\}$ jej sześcian.

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie ze zbioru $X=\{1,2,3\}$ jej sześciokrotność.

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie ze zbioru $X=\{1,2,3\}$ jej trzykrotność.

$Y=\{1,8,27\}$

$Y=\{6,12,18\}$

$Y=\{3,6,9\}$

Miejsce zerowe funkcji.

Do góry

Definicja: Miejsce zerowe funkcji.

Miejscem zerowym funkcji nazywamy ten argument, dla którego funkcja ta przyjmuje wartość [tex]0[/tex].

Czyli jest to taki [tex]x \in X[/tex], że [tex]f(x)=0[/tex].

Przykłady 3

Funkcja [tex]f[/tex] dana jest wzorem: [tex]f(x)=2x+4[/tex]. Miejscem zerowym tej funkcji jest [tex]x=-2[/tex], ponieważ

[tex]f(-2)=2 \cdot (-2)+4=-4+4=0[/tex]

Funkcja dana jest za pomocą tabeli:

Miejscem zerowym tej funkcji jest [tex]x=1[/tex], ponieważ wtedy wartość tej funkcji wynosi [tex]0[/tex]. ( [tex]f(1)=0[/tex] ).

Funkcja dana jest za pomocą wykresu:

Odczytując miejsce zerowe funkcji z wykresu, patrzymy na punkt przecięcia się wykresu tej funkcji z osią [tex]OX[/tex].

Zatem, miejscem zerowym funkcji przedstawionej na powyższym wykresie jest [tex]x=-1[/tex].

Spójrz uważnie na Rys.4 i na jego podstawie oceń prawdziwość zdań.

Rys.4

Do góry

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Miejscem zerowym funkcji przedstawionej na rys.4 jest $y=-3$
Miejscem zerowym funkcji przedstawionej na rys.4 jest $x=1$
Dziedziną funkcji przedstawionej na rys. 4 jest przedział $[-1,7)$
Zbiorem wrtości funkcji przedstawionej na rys. 4 jest przedział $[-6,9)$

Monotoniczność funkcji.

Do góry

Teraz wyjaśnimy pojęcia związane z monotonicznością funkcji.

Definicja: Funkcja rosnąca.

Funkcję nazywamy rosnącą w zbiorze (lub przedziale), jeżeli wraz ze wzrostem argumentów z tego zbioru (przedziału) rosną także wartości funkcji.

Definicja: Funkcja malejąca.

Funkcję nazywamy malejącą w zbiorze (lub przedziale), jeżeli wraz ze wzrostem argumentów z tego zbioru (przedziału) wartości funkcji maleją.

Definicja: Funkcja stała.

Funkcję nazywamy stałą w zbiorze (lub przedziale), jeżeli dla wszystkich argumentów z tego zbioru (przedziału) przyjmuje tą samą wartość.

Przykład 4

Określ monotoniczność funkcji przedstawionej na rysunku Rys.5.

Rys.5

Funkcja, której wykres znajduje się na rys.5 jest:

a) rosnąca w przedziale [tex][-2,1)[/tex]

Zauważ, że w tym przedziale argumenty ( czyli [tex]x[/tex]) zwiększają się od wartości [tex]-2[/tex] do [tex]1[/tex]. Wartości funkcji dla argumentów z tego przedziału również rosną od [tex]y=-2[/tex] do [tex]y=4[/tex] na końcu przedziału.

b) stała w przedziale [tex][2,4)[/tex]

W tym przedziale dla każdego argumentu ( czyli [tex]x[/tex]) wartości funkcji są zawsze takie same równe [tex] 4[/tex].

c) malejąca w przedziale [tex](4,6][/tex]

W przedziale [tex](4,6][/tex] argumenty ( czyli [tex]x[/tex]) zwiększają się od wartości [tex] 4[/tex] do [tex]6[/tex]. Wartości funkcji dla argumentów z tego przedziału maleją od wartości [tex] y=6[/tex] na początku przedziału do [tex]y=4 [/tex] na końcu przedziału.

Do góry

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)