Przekształcanie wykresu funkcji y=f(x) c.d.

0

Spis treści

  1. Przekształcanie wykresów funkcji c.d.
  2. Przekształcanie wykresów funkcji trygonometrycznych.

Przekształcanie wykresów funkcji c.d.

W tej nauce zajmiemy się dalszym przekształcaniem wykresu funkcji, na podstawie danego wykresu [tex]y=f(x)[/tex].

 

Mamy daną funkcję za pomocą wykresu:

Rys.1

 

 

Rysowanie wykresu funkcji [tex]y=|f(x)|[/tex] :

Rysując wykres funkcji [tex]y=|f(x)|[/tex], na podstawie wykresu [tex]y=f(x)[/tex] odbijamy symetrycznie względem osi [tex]OX[/tex], te wartości funkcji, które znajdują się pod osią [tex]OX[/tex]. 

Przykład 1

Na podstawie wykresu funkcji [tex]y=f(x)[/tex] z Rys.1, narysuj wykres funkcji [tex]y=|f(x)|[/tex].

Odbijamy symetrycznie względem osi [tex]OX[/tex], te wartości funkcji, które znajdują się poniżej tej osi.

 

Rysowanie wykresów funkcji złożonych:

W jaki sposób rysujemy wykresy funkcji złożonych, pokażemy na przykładzie.

Przykład 2

Narysować wykres funkcji [tex]y=|f(x-3)|+1[/tex], na podstawie wykresu funkcji [tex]y=f(x)[/tex] na Rys.1.

Rysowanie wykresów funkcji złożonych dzielimy na etapy. Zaczynamy od rysowania funkcji "najbardziej wewnętrznych", które kolejno przekształcamy.

W tym zadaniu mamy do narysowania wykres funkcji:

[tex]y=|f(x-3)|+1[/tex].

Rozkładamy rysowanie wykresu tej funkcji na kolejne etapy.

  • [tex]y=f(x-3)[/tex],

Najpierw przesuwamy wykres funkcji [tex]y=f(x)[/tex] o [tex]3[/tex] jednostki w prawo.

(Opis tego typu przekształceń znajduje się w nauce Przekształcanie wykresów funkcji y=f(x).)

 

  • [tex]y=|f(x-3)|[/tex],

Kolejno przekształcamy wykres funkcji, którą otrzymaliśmy w punkcie pierwszym. Mamy narysować [tex]y=|f(x-3)|[/tex], czyli odbijamy symetrycznie względem osi [tex]OX[/tex], te wartości funkcji [tex]y=f(x-3)[/tex], które są poniżej osi [tex]OX[/tex].

  • [tex]y=|f(x-3)|+1[/tex].

Ostatnim  etapem jest narysowanie wykresu funkcji  [tex]y=|f(x-3)|+1[/tex]. Przesuwamy o jedną jednostkę w górę, wykres funkcji [tex]y=|f(x-3)|[/tex], który otrzymaliśmy w poprzednim kroku.

Ostatecznie, wykres szukanej funkcji  [tex]y=|f(x-3)|+1[/tex] wygląda następująco:

 

UWAGA!

Ważne jest aby prawidłowo wydzielić etapy rysowania wykresów funkcji zaczynając od funkcji najbardziej wewnętrznych.

 

Przykładowo, wykres funkcji [tex]y=|f(x-3)|+1[/tex] oraz wykres funkcji [tex]y=|f(x-3)+1|[/tex] nie są takie same. Jeżeli chcielibyśmy narysować wykres funkcji [tex]y=|f(x-3)+1|[/tex], to kolejne etapy byłyby następujące:

  • [tex]y=f(x-3)[/tex],
  • [tex]y=f(x-3)+1[/tex],
  • [tex]y=|f(x-3)+1|[/tex].

W rezultacie, otrzymalibyśmy wykres:

 

 

 Rys.2

Na powyższym rysunku kolorem niebieskim został narysowany wykres funkcji [tex]y=f(x)[/tex]. W poniższym ćwiczeniu zaznacz w wyniku jakich przekształceń tego wykresu, powstały wykresy funkcji narysowane kolorem czerwonym i zielonym.

Do góry
Na podstawie Rys.2, dopasuj do elementów z lewej strony, elementy po stronie prawej.
zielony
czerwony
$y=|f(x-3)|$
$y=|f(x)|+4$

Przekształcanie wykresów funkcji trygonometrycznych.

Do góry

Przypomnienie:

Na początku musimy przypomnieć sobie jak wyglądają wykresy funkcji trygonometrycznych:

  • [tex]y=\sin(x)[/tex]

  • [tex]y=\cos(x)[/tex]

  • [tex]y=\tan(x)[/tex]

  • [tex]y=\cot(x)[/tex]

 

 

Zajmiemy się przekształcaniem wykresów funkcji trygonometrycznych typu:

[tex]y=c \cdot f(x)[/tex],

[tex]y=f(c\cdot x)[/tex],

gdzie [tex]f[/tex] jest funkcją trygonometryczną, a [tex]c \in \mathbb{R}[/tex].

Rysowanie wykresu funkcji [tex]y=c \cdot f(x)[/tex].

Rysując wykres funkcji [tex]y=c\cdot f(x)[/tex], mnożymy każdą z wartości funkcji [tex]f[/tex] przez [tex]c[/tex] i otrzymujemy nową wartości funkcji. Zauważ, że w tym wypadku nie zmieniają się miejsca zerowe funkcji, ponieważ jeżeli [tex]f(x_0)=0[/tex] to [tex]c \cdot f(x_0)=0[/tex].

Rysując taki wykres funkcij, zmieniamy tą funkcję "w pionie", wzdłuż osi [tex]OY[/tex]. Możemy ją wydłużyć, bądź skrócić.

Przykład 3

Narysuj wykres funkcji [tex]y=2\cdot \sin(x)[/tex].

 

Zbiór wartości funkcji zwiększył się dwukrotnie.

Przykład 4

Narysuj wykres funkcji [tex]y= \cfrac{1}{2}\cos(x)[/tex].

Zbiór wartości funkcji zmniejszył się dwukrotnie.

Rysowanie wykresu funkcji [tex]y=f(c \cdot x)[/tex].

Rysując wykres funkcji [tex]y= f(c\cdot x)[/tex], zmieniamy tą funkcję "w poziomie", wzdłuż osi [tex]OX[/tex]. Poszerzamy tą funkcję, bądź ją zwężamy. Zmieniamy wówczas miejsca zerowe funkcji. Spójrz na przykłady.

Przykład 5

Narysuj wykres funkcji [tex]y=\sin(2\cdot x)[/tex].

 

 

Wykres funkcji [tex]y=\sin(x)[/tex] zwężył się dwukrotnie.Zbiór wartości funkcji nie zmienił się.

Przykład 6

Narysuj wykres funkcji [tex]y= \cos(\cfrac{1}{2} \cdot x)[/tex].

 

Funkcja rozszerzyła się dwukrotnie. Zbiór wartości funkcji się nie zmienił.

 

Poniżej inne przykłady:

Przykład 7

Narysuj wykres funkcji [tex]y=\tan(2\cdot x)[/tex].

Tak jak powyżej, zwężamy wykres funkcji dwukrotnie.

Przykład 8

Narysuj wykres funkcji [tex]y=|\cot(\cfrac{1}{2}x)|[/tex].

Najpierw rysujemy wykres funkcji [tex]y= \cot(\cfrac{1}{2}x)[/tex]. Wykres kotangensa, rysujemy dwukrotnie szerzej.

Odbijamy symetrycznie względem osi [tex]OX[/tex], te wartości funkcji, które znajdują się pod tą osią.

 

Popatrz uważnie na poniższy rysunek:

Na podstawie powyższego rysunku, zaznacz w ćwiczeniu, w wyniku jakich przekształceń powstały wykresy funkcji zaznaczone kolorem czerwonym i zielonym.

Do góry
Na podstawie rysunku powyżej, dopasuj do elementów po stronie lewej, przekształcenie jakiemu uległa funkcja $y=\sin(x)$, aby otrzymać funkcję danego koloru.
czerwony
zielony
$y=|\sin(x)|-1$
$y=\sin(2x)-2$


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Komentarze (
0
):