Nierówności kwadratowe dla a<0

0

Spis treści

  1. Nierówności dla a<0
  2. Przykłady nierówności dla a<0

Nierówności dla a<0

W tej części lekcji zajmiemy się rozwiązywaniem nierówności kwadratowych dla współczynnika [tex]a<0[/tex].

Dla ujemnego [tex]a[/tex] wykresem funkcji kwadratowej jest parabola [tex]y = ax^2 + bx + c[/tex]  skierowana ramionami w dół.

W zależności od znaku wyróżnika [tex]\Delta[/tex] trójmian kwadratowy posiada miejsca zerowe lub nie, a wykres funkcji kwadratowa posiada punkty styczności z osią [tex]OX[/tex] lub nie.

 

Jeżeli [tex]a < 0[/tex] i [tex]\Delta < 0[/tex] to
zarys wykresu funkcji kwadratowej
nierówność rozwiązanie komentarz
  • [tex]ax^2 + bx + c > 0[/tex]
 [tex]\varnothing[/tex]

żadna część paraboli nie leży powyżej osi [tex]OX[/tex], ani też nie ma z osią [tex]OX[/tex] puntków styczności
  • [tex]ax^2 + bx + c \geq 0[/tex]
 [tex]\varnothing[/tex]
  • [tex]ax^2 + bx + c < 0[/tex]
 [tex]\mathbb{R}[/tex]

parabola leży w całości poniżej osi [tex]OX[/tex], zatem zbiorem rozwiązań jest cały zbiór liczb [tex]\mathbb{R}[/tex]
  • [tex]ax^2 + bx + c \leq 0[/tex]
 [tex]\mathbb{R}[/tex]
     
     
Jeżeli [tex]a < 0[/tex] i [tex]\Delta = 0[/tex] to
zarys wykresu funkcji kwadratowej

nierówność rozwiązanie komentarz
  • [tex]ax^2 + bx + c > 0[/tex]
 [tex]\varnothing[/tex] żadna część paraboli nie leży powyżej osi [tex]OX[/tex], zatem nierówność nie jest spełniona
  • [tex]ax^2 + bx + c \geq 0[/tex]
 [tex]-\cfrac{b}{2a}[/tex] żadna część paraboli nie leży powyżej osi [tex]OX[/tex], jedynie posiada ona punkt styczności z osią [tex]OX[/tex] dla argumentu [tex]x_0 = -\cfrac{b}{2a}[/tex]
  • [tex]ax^2 + bx + c < 0[/tex]
 [tex]\mathbb{R} \backslash \{-\cfrac{b}{2a}\}[/tex] prawie cała parabola leży poniżej osi [tex]OX[/tex] za wyjątkiem punktu styczności z osią [tex]OX[/tex], zatem zbiorem rozwiązań jest cały zbiór liczb bez [tex]x_0 = -\cfrac{b}{2a}[/tex]
  • [tex]ax^2 + bx + c \leq 0[/tex]
 [tex]\mathbb{R}[/tex] prawie cała parabola leży poniżej osi [tex]OX[/tex] oraz posiada jeden punktu styczności z osią [tex]OX[/tex], zatem zbiorem rozwiązań jest cały zbiór liczb [tex]\mathbb{R}[/tex]
     
     
Jeżeli [tex]a < 0[/tex] i [tex]\Delta > 0[/tex] to
zarys wykresu funkcji kwadratowej

nierówność rozwiązanie komentarz
  • [tex]ax^2 + bx + c > 0[/tex]
 [tex](x_1, x_2)[/tex] cześć paraboli między najmniejszym pierwiastkiem [tex]x_1[/tex] i największym pierwiastkiem [tex]x_2[/tex] leży powyżej osi [tex]OX[/tex]
  • [tex]ax^2 + bx + c \geq 0[/tex]
    [tex][x_1, x_2][/tex] cześć paraboli między najmniejszym pierwiastkiem [tex]x_1[/tex] i największym pierwiastkiem [tex]x_2[/tex] leży powyżej osi [tex]OX[/tex]
  • [tex]ax^2 + bx + c < 0[/tex]
 [tex](-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)[/tex] cześć paraboli na lewo od najmniejszego pierwiastka [tex]x_1[/tex] i na prawo od największego pierwiastka [tex]x_2[/tex] leży poniżej osi [tex]OX[/tex]
  • [tex]ax^2 + bx + c \leq 0[/tex]
 [tex](-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)[/tex] cześć paraboli na lewo od najmniejszego pierwiastka [tex]x_1[/tex] i na prawo od największego pierwiastka [tex]x_2[/tex] leży poniżej osi [tex]OX[/tex]
Do góry

Przykłady nierówności dla a<0

Przykład:
Rozwiąż nierówność:

[tex]-2x^2+6x-5 < 0[/tex]

 

Widzimy, że [tex]a = -2 < 0[/tex]. Liczymy deltę

[tex]\Delta = 6^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-5) = 36 - 40 = -4[/tex]

Spójrzmy na rysunek pomocniczy:

[tex]\Delta < 0[/tex] rozwiązaniem jest

[tex]x \in \mathbb{R}[/tex]

 

Przykład:

Rozwiąż nierówność:

[tex]-3x^2+6x-3 < 0[/tex]

Widzimy, że [tex]a = -3 < 0[/tex]. Liczymy deltę

[tex]\Delta = 6^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-3) = 36 - 36 = 0[/tex]

znajdujemy pierwiastek

[tex]x_0 = \cfrac{-6}{2 \cdot (-3)} = 1[/tex]

Spójrzmy na rysunek pomocniczy:

[tex]\Delta = 0[/tex] rozwiązaniem jest

[tex]x \in \mathbb{R} \backslash \{ 1 \}[/tex]

 

Przykład:
Rozwiąż nierówność:

[tex]-2x^2-6x-4 \leq 0[/tex]

Widzimy, że [tex]a = -2 < 0[/tex]. Liczymy deltę

[tex]\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-4) = 36 - 32 = 4[/tex]

znajdujemy pierwiastki

[tex]x_1 = \cfrac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot (-2)} = \cfrac{6 - 2}{-4} = -1[/tex]

[tex]x_2 = \cfrac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot (-2)} = \cfrac{6 + 2}{-4} = -2[/tex]

Spójrzmy na rysunek pomocniczy:

[tex]\Delta > 0[/tex] rozwiązaniem jest

[tex]x \in (-\infty, -2] \cup [-1, +\infty)[/tex]

 

Przykład:
Rozwiąż nierówność:

[tex]-x^2-x+2 \geq 0[/tex]

Widzimy, że [tex]a = -1 < 0[/tex]. Liczymy deltę

[tex]\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 2 = 1 + 8 = 9[/tex]

znajdujemy pierwiastki

[tex]x_1 = \cfrac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)} = \cfrac{1 - 3}{-2} = 1[/tex]

[tex]x_2 = \cfrac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)} = \cfrac{1 + 3}{-2} = -2[/tex]

 

Spójrzmy na rysunek pomocniczy:

[tex]\Delta > 0[/tex] rozwiązaniem jest

[tex]x \in [-2, 1][/tex]

Do góry
Dopasuj do nierówności po stronie lewej ich rozwiązania:
$-x^2 + x +12 $$ > 0$
$-x^2+9 \leq 0$
$-x^2 - 4x -4 $$ \geq 0$
$(-3, 4)$
$(-\infty, -3]$ $\cup [3, +\infty)$
$-2$


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (1):

Liceum » Funkcja kwadratowa » #411
0

Rozwiąż nierówność [tex]-x^2+4x-3>0[/tex] a następnie zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej.

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (7)

Komentarze (
0
):