Funkcja kwadratowa - podstawowe pojęcia.

Spis treści

1. Co to jest funkcja kwadratowa?
2. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
3. Postacie funkcji kwadratowej.

---

Co to jest funkcja kwadratowa?

 

Dziedziną funkcji kwadratowej ( zgodnie z definicją) jest zbiór liczb rzeczywistych.

 

 

 

Odczytujemy z wzoru funkcji wartości kolejnych współczynników:

[tex]a=5[/tex]

[tex]b=4[/tex]

[tex]c=-2[/tex]

 Obliczamy wyróżnik zgodnie z wzorem:

[tex]\Delta=b^2-4ac =4^2-4\cdot 5 \cdot (-2)=16+40=56[/tex]

Zatem wyróżnik tej funkcji wynosi [tex]\Delta=56[/tex]

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Przypomnienie: Miejscem zerowym funkcji jest każdy jej argument, dla którego wartość funkcji jest [tex]0[/tex]. Tzn.  taki [tex]x[/tex], że [tex]f(x)=0[/tex]

 

 

 

 

 

Najpierw odczytamy wartości współczynników z wzoru funkcji:

[tex]a=1 [/tex]

[tex]b=2 [/tex]

[tex]c=-3 [/tex]

Obliczamy wartość wyróżnika [tex]\Delta [/tex]:

[tex]\Delta=b^2-4ac=2^2+4 \cdot 1 \cdot 3=4+12=16[/tex]

Wartość wyróżnika jest większa od zera, czyli  funkcja [tex]f[/tex] ma dwa miejsca zerowe.

[tex]x_1=\frac {-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac {-2-\sqrt{16}}{2}=\cfrac{-2-4}{2}=\cfrac{-6}{2}=-3 [/tex]

[tex]x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac {-2+\sqrt{16}}{2}=\cfrac{-2+4}{2}=\cfrac{2}{2}=1 [/tex]

Zatem miejscami zerowymi funkcji [tex]f[/tex] są [tex]x_1=-3[/tex]  i [tex]x_2=1[/tex].

Postacie funkcji kwadratowej.

To samo równanie funkcji kwadratowej możemy zapisać w 3 postaciach:

• Postać ogólna:

                [tex]f(x)=ax^2+bx+c [/tex]

• Postać kanoniczna:

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej, jest bardzo pomocna w odczytywaniu zbioru wartości funkcji, oraz współrzędnych wierzchołka paraboli. Te zagadnienia będą omówione w kolejnej części lekcji "Wykres funkcji kwadratowej".

       [tex]f(x)=a\left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2 - \cfrac{\Delta}{4a} [/tex]

• Postać iloczynowa:

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej  pozwala bez wykonywania obliczeń odczytać jej miejsca zerowe. Postać iloczynowa nie istnieje, jeżeli wyróżnik funkcji jest mniejszy od zera!

[tex]\left\{\begin{array}{l l}nie\ istnieje,&gdy \Delta<0\\ f(x)=a(x-x_0)^2, & gdy \Delta = 0\\ f(x)=a(x-x_1)(x-x_2),& gdy \Delta>0\\ \end{array}\right.[/tex]

gdzie:

[tex]x_0[/tex] -  miejsce zerowe funkcji [tex]f[/tex]

[tex]x_1,\ x_2[/tex] - dwa różne miejsca zerowe funkcji [tex]f[/tex]

[tex]\Delta=b^2-4 a c[/tex] - wyróżnik

 

 

 

Zapisywanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej:

Odczytujemy z wzoru ogólnego funkcji wartości współczynników:

[tex]a=1 [/tex]

[tex]b=5[/tex]

[tex]c=-6[/tex]

Obliczamy wyróżnik funkcji:

[tex]\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25+24=49[/tex]

Podstawiamy obliczone wartości do wzoru na postać kanoniczną funkcji:

       [tex]f(x)=a\left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2 - \cfrac{\Delta}{4a} = \left(x+\cfrac{5}{2}\right)^2 - \cfrac{49}{4} [/tex]

Zapisywanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej:

Aby zapisać funkcję kwadratową w postaci iloczynowej, należy najpierw obliczyć jej miejsca zerowe.

Mamy już obliczoną wartość wyróżnika:

[tex]\Delta=49[/tex]

Wyróżnik jest większy od zera, zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe. Obliczamy je zgodnie z wzorami:

[tex]x_1=\frac {-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac {-5-\sqrt{49}}{2}=\frac {-5-7}{2}=\cfrac{-12}{2}=-6[/tex]

[tex]x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac {-5+\sqrt{49}}{2}=\frac {-5+7}{2}=\cfrac{2}{2}=1[/tex]

Zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=(x+6)(x-1)[/tex]

Podsumowując, ta sama funkcja zapisana w trzech postaciach to:

• postać ogólna: [tex]f(x)=x^2+5x-6[/tex]
• postać kanoniczna: [tex]f(x)=\left(x+\cfrac{5}{2}\right)^2 - \cfrac{49}{4}[/tex]
• postać iloczynowa: [tex]f(x)=(x+6)(x-1)[/tex]

 

 

 

a) [tex]f(x)=2(x-2)(x+3)[/tex]

b) [tex]f(x)=6(x+3)^2[/tex]

c) [tex]f(x)=(x+1)(x+2)[/tex]

d) [tex]f(x)=x(x-1)[/tex]

 

a) [tex]f(x)=2(x-2)(x+3)[/tex]

Miejscami zerowymi funkcj to: i [tex]f[/tex] są [tex]x_1=2[/tex] oraz [tex]x_2=-3[/tex].

Wartości te odczytujemy, porównując wzór funkcji  z wzorem ogólnym na postać iloczynową [tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex].

[tex]f(x)=2(x-2)(x+3)=2(x-2)(x-(-3))[/tex]

 

b) [tex]f(x)=6(x+3)^2[/tex]

Miejscem zerowym funkcji [tex]f[/tex] jest [tex]x_0=-3[/tex].

 

c) [tex]f(x)=(x+1)(x+2)[/tex]

Miejscami zerowymi funkcji [tex]f[/tex] są [tex]x_1=-1[/tex] oraz [tex]x_2=-2[/tex].

 

d) [tex]f(x)=x(x-1)[/tex]

Miejscami zerowymi funkcji [tex]f[/tex] są [tex]x_1=0[/tex] oraz [tex]x_2=1[/tex].

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Funkcja kwadratowa » #269

Funkcja [tex]f[/tex] dana jest wzorem [tex]f(x)=x^2+bx+c[/tex]. Miejscami zerowymi tej funkcji są [tex]x=3[/tex] i [tex]x=5[/tex]. Wyznacz wzór tej funkcji.

 

---

Liceum » Funkcja kwadratowa » #672

Wykres funkcji kwadratowej [tex]f(x)=(x+23)^2-6 [/tex] nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu:

---