Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej.

0

Monotoniczność funkcji kwadratowej.

Wykresem funkcji kwadratowej [tex]f(x)=ax^2+bx+c [/tex] jest parabola, której wierzchoÅ‚kiem jest punkt  [tex]W=(p,q)[/tex], gdzie [tex]p=-\cfrac{b}{2a}[/tex]  i  [tex]q=-\cfrac{\Delta}{4a}[/tex].

Funkcja kwadratowa ma różne przedziaÅ‚y monotonicznoÅ›ci, w zależnoÅ›ci od wspóÅ‚czynnika [tex]a[/tex]. W zwiÄ…zku tym rozpatrzymy dwa przypadki.

1) a>0

Jeżeli wspóÅ‚czynnik [tex]a[/tex] jest wiÄ™kszy od zera, wówczas ramiona paraboli sÄ… skierowane do góry. Jak na rysunku poniżej:


Wynika stÄ…d, że  funkcja [tex]f[/tex]:

  • maleje w przedziale [tex](-\infty,p)[/tex]
  • roÅ›nie w przedziale [tex](p,+\infty)[/tex]

2) a<0

Jeżeli wspóÅ‚czynnik [tex]a[/tex] jest mniejszy od zera, wówczas ramiona paraboli sÄ… skierowane w dóÅ‚. Jak na rysunku poniżej:


Wynika stąd, że funkcja [tex]f[/tex]

  • roÅ›nie w przedziale [tex](-\infty,p)[/tex]
  • maleje w przedziale [tex](p,+\infty)[/tex]

 

UWAGA!

Zauważ, że jeżeli wzór funkcji kwadratowej jest podany w postaci kanonicznej, tzn:

[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]

to bez zbędnych obliczeń, możemy podać jej przedziały monotoniczności.

 

Przykład 1

Podaj maksymalne przedziaÅ‚y w których funkcje [tex]f,\ g[/tex] rosnÄ…, gdzie:

a) [tex]f(x)=2(x-9)^2+7[/tex]

b) [tex]g(x)=-(x+3)^2+1[/tex]

 

a) [tex]f(x)=2(x-9)^2+7[/tex]

WspóÅ‚czynnik [tex]a[/tex] we wzorze funkcji [tex]f[/tex] jest wiÄ™kszy od zera, zatem ramiona paraboli bÄ™dÄ…cej wykresem tej funkcji sÄ… skierowane do góry.  Funkcja jest przedstawiona w postaci kanonicznej, zatem możemy z jej wzoru odczytać wspóÅ‚rzÄ™dne wierzchoÅ‚ka paraboli. Pierwsza wspóÅ‚rzÄ™dna tego wierzchoÅ‚ka to [tex]p=9[/tex]. Zgodnie z powyższym opisem odnoÅ›nie odczytywania przedziaÅ‚ów monotonicznoÅ›ci, funkcja [tex]f[/tex] roÅ›nie w przedziale [tex](p,+\infty)[/tex].

Maksymalny przedziaÅ‚, w którym funkcja [tex]f[/tex] roÅ›nie to:

[tex](9,+\infty)[/tex]

b) [tex]g(x)=-(x+3)^2+1[/tex]

 WspóÅ‚czynnik [tex]a[/tex] we wzorze funkcji [tex]g[/tex] jest mniejszy od zera, zatem ramiona paraboli bÄ™dÄ…cej wykresem tej funkcji sÄ… skierowane w dóÅ‚.  Podobnie jak wyżej z wzoru funkcji odczytujemy pierwszÄ… wspóÅ‚rzÄ™dnÄ… wierzchoÅ‚ka paraboli.  Pierwsza wspóÅ‚rzÄ™dna tego wierzchoÅ‚ka to [tex]p=-3[/tex]. Zgodnie z powyższym opisem odnoÅ›nie odczytywania przedziaÅ‚ów monotonicznoÅ›ci, funkcja [tex]g[/tex] roÅ›nie w przedziale [tex](-\infty,p)[/tex].

Maksymalny przedziaÅ‚, w którym funkcja [tex]g[/tex] roÅ›nie to:

[tex](-\infty,-3)[/tex]

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdÄ… a co faÅ‚szem
    Approved-icon Alert-icon
  • Funkcja $f$ dana wzorem $f(x)=(x-2)^2+9$ roÅ›nie w przedziale $(9,+\infty)$.
  • Funkcja $g$ dana wzorem $g(x)=(x+3)^2+5$ maleje w przedziale $(-\infty,-3)$.
  • Funkcja $h$ dana wzorem $h(x)=-8(x+5)^2-7$ roÅ›nie w przedziale $(-\infty,-5)$.


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Komentarze (
0
):