Sporządzanie wykresu funkcji kwadratowej.

Sporządzanie wykresu funkcji kwadratowej:

Teraz zajmiemy się kolejnym zagadnieniem, jakim jest sporządzanie wykresu funkcji kwadratowej:

[tex]f(x)=ax^2+bx+c [/tex]

Aby narysować wykres funkcji kwadratowej, musimy znaleźć przynajmniej trzy punkty, które należą do tego wykresu.

Pierwszym krokiem jest  wyznaczenie punktu, będącego wierzchołkiem paraboli. Dla przypomnienia, wierzchołek paraboli to punkt [tex]W=(p,q)[/tex], gdzie:

[tex]p=-\cfrac{b}{2a}[/tex]

[tex]q=-\cfrac{\Delta}{4a}[/tex]

Kolejno, należy sprawdzić czy parabola przecina oś [tex]OX[/tex], czyli czy funkcja ma miejsca zerowe. Liczba miejsc zerowych jest uzależniona od wartości wyróżnika [tex] \Delta=b^2-4ac[/tex].

•  Jeżeli [tex]\Delta<0 [/tex] wówczas funkcja nie ma miejsc zerowych i parabola jest nad lub pod osią [tex]OX[/tex]. Zobacz rysunki poniżej:

Wykres znajduje się nad osią [tex]OX[/tex] jeżeli [tex]a>0[/tex]:

 

Wykres znajduje się pod osią [tex]OX[/tex] jeżeli [tex]a<0[/tex]:

W takim wypadku, rysując wykres funkcji kwadratowej należy wyznaczyć ( oprócz wierzchołka) jeszcze dwa punkty należące do paraboli.

[tex]p[/tex] to pierwsza współrzędna wierzchołka.  Wyznaczając dwa pozostałe punkty, wybieramy dowolne [tex]x_1<p[/tex] oraz [tex]x_2>p[/tex] i liczymy wartość funkcji dla tych argumentów. Nanosimy je w układzie współrzędnych i rysujemy przybliżony wykres funkcji kwadratowej.

Najpierw wyznaczamy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek paraboli:

[tex]W=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right) [/tex]

Odczytujemy współczynniki ze wzoru funkcji:

[tex] a=1[/tex]

[tex] b=-8[/tex]

[tex] c=19[/tex]

Obliczamy wartość wyróżnika [tex] \Delta [/tex]:

[tex]\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4 \cdot 1 \cdot 19=64-76=-12<0[/tex]

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka:

[tex]W=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)=\left(-\cfrac{-8}{2 \cdot 1},-\cfrac{-12}{4 \cdot 1}\right)=(4,3)[/tex]

[tex]W=(4,3)[/tex]

Pierwsza współrzędna wierzchołka to [tex]p=4[/tex]. Wybieramy dwa dowolne punkty [tex]x_1<4[/tex] i [tex]x_2>4[/tex]. Np.:

[tex]x_1=2[/tex]

[tex]x_2=6[/tex]

Obliczamy wartość funkcji dla tych argumentów:

[tex]f(x)=x^2-8x+19[/tex]

[tex]f(2)=2^2-8\cdot 2+19=7[/tex]

[tex]f(6)=6^2-8\cdot 6+19=7[/tex]

Wyznaczyliśmy dwa punkty należące do wykresu funkcji [tex]f[/tex]:

[tex]P=(2,7)[/tex] 

[tex]Q=(6,7)[/tex]

 

Zaznaczamy wszystkie trzy wyznaczone punkty [tex]W,\ P,\ Q[/tex] w układzie współrzędnych:

 

Rysujemy parabolę przechodzącą przez te punkty:

 

Wyróżnik jest mniejszy od zera, czyli funkcja nie ma miejsc zerowych. W żadnym punkcie nie przecina osi [tex]OX[/tex].

 

•  Jeżeli  [tex]\Delta=0 [/tex] wówczas funkcja ma jedno miejsce zerowe i parabola jest styczna z osią [tex]OX[/tex]. Zobacz rysunki poniżej:

Gdy [tex]a>0 [/tex] to ramiona paraboli są skierowane do góry:

 

Gdy [tex]a<0 [/tex] to ramiona paraboli są skierowane w dół:

Rysując wykres funkcji tej postaci, również postępujemy jak w powyższym przykładzie. Wybieramy dwa argumenty [tex]x_1<p[/tex] oraz [tex]x_2>p[/tex] i liczymy wartość funkcji dla tych argumentów. Nanosimy je w układzie współrzędnych i rysujemy przybliżony wykres funkcji kwadratowej.

•  Jeżeli  [tex]\Delta>0  [/tex] wówczas funkcja ma dwa miejsce zerowe i parabola przecina oś [tex]OX[/tex] w dwóch punktach. Zobacz rysunki poniżej:

Gdy [tex]a>0 [/tex] to ramiona paraboli są skierowane do góry:

 

Gdy [tex] a<0 [/tex] to ramiona paraboli są skierowane w dół:

Rysując wykres funkcji dla [tex]\Delta>0  [/tex] wyznaczamy dwa miejsca zerowe funkcji.  Przypomnijmy, że miejsca zerowe obliczamy korzystając ze wzorów:

[tex]x_1=\cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]

[tex]x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]

Miejsca zerowe wyznaczają punkty przecięcia paraboli z osią [tex]OX[/tex]:

[tex](x_1,0)[/tex]

[tex](x_2,0)[/tex]

Po obliczeniu miejsc zerowych funkcji kwadratowej, zaznaczamy je w układzie współrzędnych razem z wierzchołkiem paraboli i rysujemy przybliżony wykres funkcji.

Najpierw wyznaczamy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek paraboli:

[tex]W=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)[/tex]

Odczytujemy współczynniki ze wzoru funkcji:

[tex] a=1[/tex]

[tex] b=2[/tex]

[tex] c=-3[/tex]

Obliczamy wartość wyróżnika [tex]\Delta [/tex]:

[tex]\Delta=b^2-4ac=2^2-4 \cdot 1 \cdot (-3)=4+12=16[/tex]

[tex]W=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)=\left(-\cfrac{2}{2\cdot 1},-\cfrac{16}{4 \cdot 1}\right)=(-1,-4)[/tex]

Zatem wierzchołkiem paraboli jest punkt:

[tex]W=(-1,-4)[/tex]

Ponieważ [tex]\Delta>0 [/tex] to obliczamy pierwiastki funkcji kwadratowej ( miejsca zerowe):

 

[tex]x_1=\cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\cfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=\cfrac{-2-4}{2}=-3[/tex]

[tex]x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\cfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=\cfrac{-2+4}{2}=1[/tex]

Punkty przecięcia paraboli z osią [tex]OX[/tex] to:

[tex](-3,0)[/tex]

[tex](1,0)[/tex]

Zaznaczamy wszystkie trzy punkty w układzie współrzędnych:

Rysujemy parabolę:

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Funkcja kwadratowa » #268

Naszkicuj wykres funkcji [tex]y=x^2-x-2[/tex].

---