Wyznaczanie najmniejszej i największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Obliczanie najmniejszej i największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Dane są:

1) funkcja kwadratowa określona wzorem [tex] f(x)=ax^2+bx+c[/tex]

2) przedział domknięty [tex][x_1,x_2][/tex].

Zadaniem jakie teraz rozwiążemy jest wyznaczenie najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale.

Przypomnienie:

Wierzchołek paraboli to punkt:

[tex]W=(p,q)=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)[/tex]

 

Pierwszym etapem w rozwiązywaniu tego typu zadań, jest określenie, gdzie znajduje się wierzchołek paraboli, a dokładniej pierwsza współrzędna tego wierzchołka $p$. Czyli:

• Obliczamy  [tex]p=-\cfrac{b}{2a}[/tex]
• Jeżeli punkt [tex]p[/tex] należy  do przedziału [tex][x_1,x_2][/tex] wówczas obliczamy wartości funkcji w trzech punktach:

[tex]f(x_1)[/tex]

[tex]f(x_2)[/tex]

[tex]f(p)[/tex]

i wybieramy spośród nich wartość maksymalną, bądź minimalną, w zależności od treści od zadania.

• Jeżeli punkt [tex]p[/tex] nie należy  do przedziału [tex][x_1,x_2][/tex] wówczas obliczamy wartości funkcji w dwóch punktach:

[tex]f(x_1)[/tex]

[tex]f(x_2)[/tex]

i wybieramy spośród nich wartość maksymalną, bądź minimalną, w zależności od treści zadania.

 

 

Zgodnie z powyższym, najpierw sprawdzamy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek paraboli:

[tex]p=-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{8}{2\cdot 2}=-2[/tex]

[tex]p\not\in [-4,-3][/tex]

 Ponieważ punkt [tex]p[/tex] nie należy do przedziału [tex] [-4,-3][/tex] to obliczamy wartości funkcji tylko na końcach przedziału:

[tex]f(-4)=2\cdot (-4)^2+8 \cdot (-4)+7=32-32+7=7[/tex]

[tex]f(-3)=2 \cdot (-3)^2+8 \cdot (-3) +7=18-24+7=1[/tex]

Dla lepszego zobrazowania tego zadania, poniżej został umieszczony wykres funkcji [tex]f[/tex]:

 

Największa wartość funkcji [tex]f[/tex] w przedziale [tex] [-4,-3][/tex] to [tex]7[/tex]. Jest to wartość funkcji [tex]f[/tex] dla argumentu [tex]x=-4[/tex].

Najmniejsza wartość funkcji [tex]f[/tex] w przedziale [tex] [-4,-3][/tex] to [tex]1[/tex]. Jest to wartość funkcji [tex]f[/tex] dla argumentu [tex]x=-3[/tex].

 

 

 

Zgodnie z powyższym, najpierw sprawdzamy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek paraboli:

[tex]p=-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{-6}{2\cdot 1}=3[/tex]

[tex]p \in [2,5][/tex]

Ponieważ punkt [tex]p[/tex] należy do przedziału [tex] [1,5][/tex] to obliczamy wartości funkcji w trzech punktach:

[tex]f(2)=2^2-6\cdot 2+3=4-12+3=-5[/tex]

[tex]f(5)=5^2-6\cdot 5+3=25-30+3=-2[/tex]

[tex]f(p)=f(3)=3^2- 6 \cdot 3+3=9-18+3=-6[/tex]

Dla lepszego zobrazowania tego zadania, poniżej został umieszczony wykres funkcji [tex]f[/tex]:

 

Największa wartość funkcji [tex]f[/tex] w przedziale [tex] [2,5][/tex] to [tex]-2[/tex]. Jest to wartość funkcji [tex]f[/tex] dla argumentu [tex]x=5 [/tex].

Najmniejsza wartość funkcji [tex]f[/tex] w przedziale [tex] [2,5][/tex] to [tex]-6[/tex]. Jest to wartość funkcji [tex]f[/tex] dla argumentu [tex]x=3 [/tex].

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Funkcja kwadratowa » #25

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji [tex]f(x)=\cfrac{1}{3}x^2+2x-3[/tex] w przedziale [tex][-3,0][/tex].

---

Liceum » Funkcja kwadratowa » #55

O funkcji kwadratowej [tex]f[/tex] wiemy, że jest rosnąca w przedziale [tex][-\cfrac{3}{2},+\infty)[/tex], jednym z jej miejsc zerowych jest liczba [tex]-1[/tex] oraz, że jej wykres przecina oś OY w punkcie [tex]6[/tex]. Wyznacz wzór tej funkcji oraz jej najmniejszą i największą wartość w przedziale [tex][-5,-4][/tex].

---

Liceum » Funkcja kwadratowa » #24

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji [tex]f(x)=2x^2-8x+11[/tex] w przedziale [tex][-3,5][/tex].

---