Nierówności kwadratowe z parametrem.
Przypomnienie:
Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
[tex]ax^2 + bx + c > 0[/tex]
[tex]ax^2 + bx + c \geq 0[/tex]
[tex]ax^2 + bx + c < 0[/tex]
[tex]ax^2 + bx + c \leq 0[/tex]
gdzie
[tex]a,b,c \in \mathbb{R}[/tex] - współczynniki
[tex]a\neq 0[/tex]
[tex]x \in \mathbb{R}[/tex] - zmienna
Przed przystąpieniem do tej nauki musisz mieć opanowane zagadnienia z działu funkcja kwadratowa.
A teraz przejdźmy już do części właściwej tej nauki. Najszybciej wyjaśnimy wszystko na przykładach.
Dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex], zbiorem rozwiązań nierówności [tex]x^2+(m-3)x-m>0[/tex] jest zbiór liczb rzeczywistych?
Po lewej stronie nierówności mamy dany wzór funkcji kwadratowej: [tex]f(x)=x^2+(m-3)x-m[/tex]. Ponieważ współczynnik kierunkowy przy [tex]x^2[/tex] jest równy [tex]1[/tex] (czyli jest dodatni), to parabola będąca wykresem funkcji [tex]f[/tex] ma ramiona skierowane w górę. Aby wszystkie wartości tej funkcji były dodatnie, to cała parabola musi znajdować się nad osią [tex]OX[/tex].
Inaczej treść zadania, możemy sformułować jako:
Dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex] wykres funkcji kwadratowej: [tex]f(x)=x^2+(m-3)x-m[/tex] znajduje się nad osią [tex]OX[/tex].
Jeżeli parabola znajduje się nad osią [tex]OX[/tex], to nie przecina jej w żadnym punkcie, czyli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. Oznacza to, że wyróżnik [tex]\Delta[/tex] jest ujemny. Na tej podstawie wyznaczymy wartości parametru [tex]m[/tex].
[tex]x^2+(m-3)x-m>0[/tex]
[tex]\Delta=(m-3)^2-4\cdot (-m)=m^2-6m+9+4m=m^2-2m+9[/tex]
Rozwiązujemy nierówność:
[tex]\Delta <0[/tex]
[tex]m^2-2m+9<0[/tex]
[tex] \Delta_m=(-2)^2-4\cdot 9=4-36=-32<0[/tex]
Wyróżnik [tex]\Delta_m[/tex] jest ujemny. Oznacza to, że nierówność [tex]m^2-2m+9<0[/tex] nie ma rozwiązań.
Nie ma takich [tex]m[/tex], dla których wyróżnik [tex]\Delta[/tex] równania [tex]x^2+(m-3)x-m>0[/tex] byłby ujemny, czyli takich wartości parametru [tex]m[/tex], dla których rozwiązaniem nierówności [tex]x^2+(m-3)x-m>0[/tex] byłby zbiór liczb rzeczywistych.
Wyznacz te wartości parametru [tex]m[/tex], dla których zbiór rozwiązań nierówności [tex]mx^2-(m-4)x-2 < 0[/tex] zawiera się w przedziale [tex] (0,+\infty)[/tex].
Rozwiązywanie tego zadania musimy podzielić na trzy części, ze względu na to, że nie wiemy jaką wartość ma współczynnik kierunkowy przy [tex]x^2[/tex].
Przypadki:
a) [tex]m<0[/tex]
Jeżeli współczynnik kierunkowy jest ujemny, to parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej po lewej stronie nierówności ma ramiona skierowane w dół. Parabola może przyjąć jedną z dwóch postaci:
1.
Zbiór rozwiązań nierówności
[tex]mx^2-(m-4)x-2 < 0[/tex]
to byłby przedział:
[tex](-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)[/tex]
W tym wypadku nigdy nie wyznaczymy takich wartości [tex]m[/tex], aby zbiór rozwiązań zawierał się w przedziale [tex] (0,+\infty)[/tex].
2.
Jeżeli parabola byłąby pod osią [tex]OX[/tex], to zbiorem rozwiązań nierówności
[tex]mx^2-(m-4)x-2 < 0[/tex]
byłby zbiór liczb rzeczywistych, który również nie może się zawierać w przedziale [tex] (0,+\infty)[/tex].
Podsumowując, jeżeli [tex]m<0[/tex], to zbiór rozwiązań nierówności nie może znajdować się w przedziale [tex] (0,+\infty)[/tex].
b) [tex]m=0[/tex]
Po podstawieniu [tex]m=0[/tex] do nierówności [tex]mx^2-(m-4)x-2 < 0[/tex] otrzymujemy:
[tex]-(-4)x-2 < 0[/tex]
[tex]4x-2 < 0[/tex]
[tex]4x < 2[/tex]
[tex]x < \cfrac{1}{2}[/tex]
Zbiór rozwiąząń to:
[tex](-\infty,\cfrac{1}{2})[/tex]
Zbiór ten nie zawiera się w zbiorze [tex] (0,+\infty)[/tex], dlatego [tex]m=0[/tex], również nie jest rozwiązaniem zadania.
c) [tex]m>0[/tex]
Jeżeli [tex]m>0[/tex], to parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej po lewej stronie nierówności ma ramiona skierowane w górę. Parabola może przyjąć jedną z dwóch postaci:
1. Gdy wyróżnik [tex]\Delta[/tex] jest ujemny:
to parabola nie przecina osi [tex]OX[/tex].
Nierówność
[tex]mx^2-(m-4)x-2 < 0[/tex]
nie ma rozwiązań, ponieważ wszystkie wartości funkcji są dodatnie.
2. Gdy wyróżnik [tex]\Delta[/tex] jest nieujemny (czyli istnieją miejsca zerowe):
Zbiór rozwiązań nierówności
[tex]mx^2-(m-4)x-2 < 0[/tex]
to byłby przedział:
[tex](x_1,x_2)[/tex]
Sprawdzamy kiedy wyróżnik jest nieujemny:
[tex]\Delta=(m-4)^2-4\cdot m \cdot (-2)=m^2-8m+16+8m=m^2+16[/tex]
[tex]m^2+16 \geq 0[/tex]
Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych:
[tex]m \in \mathbb{R}[/tex].
Jeżeli wyróżnik jest nieujemny to rozwiązaniem jest przedział [tex](x_1,x_2)[/tex]. Musimy teraz sprawdzić, kiedy taki przedział jest zawarty w przedziale [tex] (0,+\infty)[/tex]. Aby tak było, to oba pierwiastki [tex]x_1[/tex] i [tex]x_2[/tex] muszą być dodatnie (suma i iloczyn tych pierwiastków musi być dodatni). Korzystając z wzorów Viete'a otrzymujemy warunki:
[tex]x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}=\cfrac{m-4}{m}[/tex]
[tex]x_1\cdot x_2=\cfrac{c}{a}=\cfrac{-2}{m}[/tex]
Sprawdzamy, kiedy suma i iloczyn pierwiastków są dodatnie:
- suma pierwiastków
[tex]\cfrac{m-4}{m}>0 [/tex]
[tex]m(m-4)>0 [/tex]
[tex] m \in (-\infty,0) \cup (4,+\infty)[/tex]
- iloczyn pierwiastków
[tex]\cfrac{-2}{m}>0[/tex]
[tex]m \in (-\infty,0)[/tex]
Wartości [tex]m[/tex], dla których suma pierwiastków jest dodatnia i iloczyn to:
[tex]m \in (-\infty,0)[/tex]
Na początku tego przypadku zakładaliśmy, że $m>0$, dlatego też ten przedział nie jest rozwiązaniem.
Podsumowanie:
Brak rozwiązań.
Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski.
Dzięki :)
Komentarze (0
):
Logowanie Aby dodać komentarz musisz się zalogować.
Nie masz
jeszcze konta?
Załóż darmowe konto w 30 sekund.
Rejestracja
Nie pamiętasz hasła?