Nierówności kwadratowe z parametrem.


Nierówności kwadratowe z parametrem.

Przypomnienie:

Definicja: Nierówność kwadratowa

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:


gdzie

- współczynniki

- zmienna

Przed przystąpieniem do tej nauki musisz mieć opanowane zagadnienia z działu funkcja kwadratowa.

 

A teraz przejdźmy już do części właściwej tej nauki. Najszybciej wyjaśnimy wszystko na przykładach.

 

Przykład 1

Dla jakich wartości parametru , zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych?

Po lewej stronie nierówności mamy dany wzór funkcji kwadratowej: . Ponieważ współczynnik kierunkowy przy jest równy (czyli jest dodatni), to parabola będąca wykresem funkcji ma ramiona skierowane w górę. Aby wszystkie wartości tej funkcji były dodatnie, to cała parabola musi znajdować się nad osią .

Inaczej treść zadania, możemy sformułować jako:

Dla jakich wartości parametru wykres funkcji kwadratowej: znajduje się nad osią .

Jeżeli parabola znajduje się nad osią , to nie przecina jej w żadnym punkcie, czyli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. Oznacza to, że wyróżnik jest ujemny. Na tej podstawie wyznaczymy wartości parametru .

Rozwiązujemy nierówność:

Wyróżnik jest ujemny. Oznacza to, że nierówność nie ma rozwiązań.

Nie ma takich , dla których wyróżnik równania byłby ujemny, czyli takich wartości parametru , dla których rozwiązaniem nierówności byłby zbiór liczb rzeczywistych.

 

Przykład 2

Wyznacz te wartości parametru , dla których zbiór rozwiązań nierówności zawiera się w przedziale .

Rozwiązywanie tego zadania musimy podzielić na trzy części, ze względu na to, że nie wiemy jaką wartość ma współczynnik kierunkowy przy .

Przypadki:

a)

Jeżeli współczynnik kierunkowy jest ujemny, to parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej po lewej stronie nierówności ma ramiona skierowane w dół. Parabola może przyjąć jedną z dwóch postaci:

1.

 

 

 

Zbiór rozwiązań nierówności 

to byłby przedział:

W tym wypadku nigdy nie wyznaczymy takich wartości , aby zbiór rozwiązań zawierał się w przedziale .

2.

Jeżeli parabola byłąby pod osią , to zbiorem rozwiązań nierówności

byłby zbiór liczb rzeczywistych, który również nie może się zawierać w przedziale .

Podsumowując, jeżeli , to zbiór rozwiązań nierówności nie może znajdować się w przedziale .

b)

Po podstawieniu do nierówności otrzymujemy:

Zbiór rozwiąząń to:

Zbiór ten nie zawiera się w zbiorze , dlatego , również nie jest rozwiązaniem zadania.

c)

Jeżeli , to parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej po lewej stronie nierówności ma ramiona skierowane w górę. Parabola może przyjąć jedną z dwóch postaci:

1. Gdy wyróżnik  jest ujemny:


to parabola nie przecina osi .

Nierówność

nie ma rozwiązań, ponieważ wszystkie wartości funkcji są dodatnie.

2. Gdy wyróżnik jest nieujemny (czyli istnieją miejsca zerowe):

 

 

Zbiór rozwiązań nierówności 

to byłby przedział:

Sprawdzamy kiedy wyróżnik jest nieujemny:

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych:

.

 Jeżeli wyróżnik jest nieujemny to rozwiązaniem jest przedział . Musimy teraz sprawdzić, kiedy taki przedział  jest zawarty w przedziale . Aby tak było, to oba pierwiastki   i muszą być dodatnie (suma i iloczyn  tych pierwiastków musi być dodatni). Korzystając z wzorów Viete'a otrzymujemy warunki:

Sprawdzamy, kiedy suma i iloczyn pierwiastków są dodatnie:

- suma pierwiastków

- iloczyn pierwiastków

Wartości , dla których  suma pierwiastków jest dodatnia i iloczyn to:

 

Na początku tego przypadku zakładaliśmy, że , dlatego też ten przedział nie jest rozwiązaniem. 

Podsumowanie:

Brak rozwiązań.




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Funkcja kwadratowa - podstawowe pojęcia.
  2. Nierówności kwadratowe dla a<0
  3. Nierówności kwadratowe dla a>0
  4. Parabola, wierzchołek paraboli, zbiór wartości funkcji kwadratowej.
  5. Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej.
  6. Równania kwadratowe z parametrem.
  7. Równanie kwadratowe
  8. Sporządzanie wykresu funkcji kwadratowej.
  9. Wyznaczanie najmniejszej i największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.
  10. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.
  11. Wzory Viete'a

Zadania do przećwiczenia (3):

Liceum » Funkcja kwadratowa » #550
1

Wyznacz te wartości parametru , dla których parabola będąca wykresem funkcji

znajduje się pod prostą o równaniu

.


R
D
Liceum » Funkcja kwadratowa » #144
5

Pewna parabola jest opisana równaniem: , gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których wierzchołek paraboli leży nad osią  .


P
D
Liceum » Funkcja kwadratowa » #547
1

Wyznacz te wartości parametru , dla których nierówność

jest spełniona dla każdego .


R
K

Zobacz zadania z działu funkcja kwadratowa(76)


Komentarze (
0
):