Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą podstawiania oraz przeciwnych współczynników.

0

Spis treści

  1. Układ równań liniowych.
  2. Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny.
  3. Metoda podstawienia.
  4. Metoda przeciwnych współczynników.

Układ równań liniowych.

Definicja: Układ równań liniowych
Układem równań liniowych o [tex]2[/tex] niewiadomych [tex]x[/tex] i  [tex]y[/tex] nazywamy układ

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
a_1x+b_1 y= c_1 \\
a_2 x + b_2 y= c_2 \\
\end{array} \right.[/tex]

Rozwiązaniem takiego układu równań jest para [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] która spełnia jednocześnie oba równania.

 

Przykład 1

Rozwiązaniem układu stopnia [tex]2[/tex]

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
2x+3y = 12 \\
4x+y = 14 \\
\end{array} \right.[/tex]

jest para

[tex]\left\{\begin{matrix}
x=3\\
y=2
\end{matrix}\right.[/tex]

To znaczy, gdy podstawimy [tex] x = 3 [/tex] i [tex] y = 2 [/tex] oba równania będą spełnione.

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • Rozwiązaniem układu $\left\{ \begin{array}{l l} x + y= 2 \\ 3x + y = 4\\ \end{array} \right.$ jest para $x=1$, $y=1$
  • Układ równań $\left\{ \begin{array}{l l} 2x^2 + 4y= 5 \\ 5x + 2y = 3 \\ \end{array} \right.$ jest układem równań liniowych.
  • Rozwiązaniem układu $\left\{ \begin{array}{l l} 3x + 4y= 28 \\ 6x + 7y = 3 \\ \end{array} \right.$ jest para $x=2$, $y=4$.

Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny.

Do góry

Definicja: Układ oznaczony

Układ równań liniowych nazywamy układem oznaczonym (równań niezależnych), jeżeli ma on dokładnie jedno rozwiązanie.

Przykład 2

Układ równań

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
2x + 3y = 0 \\
x-y=5 \\
\end{array} \right.[/tex]

jest układem oznaczonym, ponieważ posiada dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para

[tex]\left\{\begin{matrix}
x=3\\
y=-2
\end{matrix}\right.[/tex]

 

Definicja: Układ sprzeczny

Układ równań liniowych nazywamy układem sprzecznym, jeżeli nie posiada on rozwiązań.

Przykład 3

Układ równań

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
2x + 3y = 0 \\
6x + 9y = 3 \\
\end{array} \right.[/tex]

jest układem sprzecznym, ponieważ nie posiada rozwiązań.

 

Definicja: Układ nieoznaczony

Układ równań liniowych nazywamy układem nieoznaczonym (równań zależnych), jeżeli posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład 4

Układ równań

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
2x + 3y = 2 \\
6x + 9y = 6 \\
\end{array} \right.[/tex]

jest układem nieoznaczonym, ponieważ posiada nieskończenie wiele rozwiązań postaci:

[tex]\left\{\begin{matrix}
x=a\\
y=\cfrac{2}{3}-\cfrac{2}{3}a
\end{matrix}\right.[/tex]

gdzie [tex]a \in \mathbf{R}[/tex]

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej
Układ równań, który nie posiada rozwiązań nazywamy
Układ równań, który posiada dokładnie jedno rozwiązanie nazywamy
Układ równań, który posiada wiele rozwiązań (więcej niż jedno) nazywamy
sprzecznym
oznaczonym
nieoznaczonym

Metoda podstawienia.

Do góry

Metoda podstawiania rozwiązywania układów równań liniowych polega na tym, że z jednego równania, obliczamy jedną ze zmiennych. Np. [tex]x=- 3+3y[/tex]. Następnie, tak obliczoną zmienną, zastępujemy w drugim równaniu, warunkiem, który obliczyliśmy. W ten sposób pozostaje do rozwiązania równanie z jedną niewiadomą (w przypadku układów stopnia [tex]2[/tex]). Zobacz na przykłady poniżej:

 

 

Przykład 5

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

 

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
2x + y = 2 \\
3x + 2y = 3 \\
\end{array} \right.[/tex]

Z pierwszego równania wyznaczamy [tex]y[/tex] w zależności od [tex]x[/tex]:

[tex]y = 2-2x[/tex]

teraz podstawiamy tą zależność do drugiego równania i otrzymujemy

[tex]3x + 2(2-2x) = 3[/tex]

[tex]3x + 4-4x = 3[/tex]

[tex]-x +4 = 3[/tex]

[tex]-x = -1[/tex]

[tex]x = 1[/tex]

Obliczamy [tex]y[/tex], mając dane [tex]x[/tex]:

[tex]y = 2-2 \cdot 1 = 0[/tex]

otrzymaliśmy rozwiązanie (układ jest oznaczony), którym jest para

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
x = 1 \\
y = 0 \\
\end{array} \right.[/tex]

 

 

Przykład 6

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

 

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
-3x + y = 2 \\
x - y = 1 \\
\end{array} \right.[/tex]

 

Z drugiego równania wyliczamy [tex]y[/tex] w zależności od [tex]x[/tex]:

[tex]x -y = 1[/tex]

[tex]y = x-1[/tex]

teraz podstawiamy zależność na [tex]y[/tex] do pierwszego równania, otrzymujemy

[tex]-3x +x-1 = 2[/tex]

[tex]-2x -1 = 2[/tex]

[tex]-2x = 3[/tex]

[tex]x=-\cfrac{3}{2}[/tex]

[tex]y=-\cfrac{3}{2}-1=-\cfrac{5}{2}[/tex]

otrzymaliśmy rozwiązanie:

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
x = -\cfrac{3}{2} \\
y = -\cfrac{5}{2} \\
\end{array} \right.[/tex]

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • Rozwiązaniem układu $\left\{ \begin{array}{l l} 3x - y= 1 \\ -3x - 2y = -5 \\ \end{array} \right.$ jest para $x=1$, $y=-2$.
  • Rozwiązaniem układu $\left\{ \begin{array}{l l} -5x + 2y= -6 \\ x - y = 0 \\ \end{array} \right.$ jest para $x=2$, $ y = 2 $.
  • Rozwiązaniem układu $\left\{ \begin{array}{l l} -7x + 3y= 5 \\ x + y = 2 \\ \end{array} \right.$ jest para $x=3$, $ y =2 $.

Metoda przeciwnych współczynników.

Do góry

Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układów równań liniowych polega na doprowadzeniu równań do postaci, w której odpowiadające sobie współczynniki przy wybranej zmiennej np. [tex]x[/tex] będą przeciwne. Następnie równania dodajemy stronami i otrzymujemy równanie jednej zmiennej.

Najlepiej tą metodę przedstawić na przykładzie:

Przykład 7

Rozwiąż układ równań

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
2x + 3y = 5 \\
-3x - 6y = -9 \\
\end{array} \right.[/tex]

metodą przeciwnych współczynników.

Chcemy, aby przy zmiennej [tex]y[/tex] w pierwszym i drugim równaniu układu były te same współczynniki tylko o przeciwnych znakach. Aby do tego doprowadzić, mnożymy  pierwsze równanie układu przez [tex]2[/tex] i otrzymujemy:

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
4x + 6y = 10 \\
-3x - 6y = -9 \\
\end{array} \right.[/tex]

Dodajemy stronami oba równania. Redukuje się wówczas zmienna [tex]y[/tex], co pozwala wyliczyć wartość [tex]x[/tex]:

[tex]4x+6y-3x-6y=10-9[/tex]

[tex]x=1[/tex]

Obliczamy drugą zmieną, czyli [tex]y[/tex]. Podstawiamy [tex]x=1[/tex]  do jednego z równań układu, np. do pierwszego:

[tex]4\cdot 1 + 6y = 10[/tex]

[tex]6y=6[/tex]

[tex]y=1[/tex]

otrzymaliśmy rozwiązanie

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
x=1 \\
y=1 \\
\end{array} \right.[/tex]

Przykład 8

Rozwiąż układ równań

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
2x + 3y = 12 \\
3x + 2y = 13 \\
\end{array} \right.[/tex]

metodą przeciwnych współczynników.

 

Przekształcamy równania układu tak, aby otrzymać przeciwne współczynniki przy zmiennej [tex]x[/tex]. Mnożymy w tym celu pierwsze równanie przez [tex]3[/tex], a drugie przez [tex]-2[/tex]:

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
6x + 9y = 36 \\
-6x - 4y = -26 \\
\end{array} \right.[/tex]

Teraz dodajemy oba równania do siebie. Redukuje się zmienna [tex]x[/tex], co pozwala obliczyć [tex]y[/tex]:

[tex]6x+9y-6x-4y=36-26[/tex]

[tex]5y=10[/tex]

[tex]y=2[/tex]

podstawiamy teraz [tex]y=2[/tex] do jednego z równań np. do drugiego

[tex]-6x - 4 \cdot 2 = -26[/tex]

[tex]-6x - 8 = -26[/tex]

[tex]-6x = -18[/tex]

[tex]x = 3[/tex]

otrzymaliśmy rozwiązanie

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
x=3 \\
y=2 \\
\end{array} \right.[/tex]

Do góry
Dopasuj do układów równań ich rozwiązania:
$\left\{ \begin{array}{l l} \cfrac{1}{4}x - 2y = -1 \\ x + y = 5 \\ \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l l} y - 2x = 0 \\ -x + 3y = 25 \\ \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l l} -2x + y = -2 \\ 2x + 2y = 14 \\ \end{array} \right.$
$x=4,y=1$
$x=5, y=10$
$x=3, y=4$


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (1):

Liceum » Funkcja liniowa » #30
4

Rozwiąż układ równań:

[tex]\begin{cases}
 &17=x+3y \\
 &9=2x+y
\end{cases}[/tex]

 

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (2)

Komentarze (
0
):