Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą podstawiania oraz przeciwnych współczynników.


Spis treści

  1. Układ równań liniowych.
  2. Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny.
  3. Metoda podstawienia.
  4. Metoda przeciwnych współczynników.

Układ równań liniowych.

Definicja: Układ równań liniowych
Układem równań liniowych o niewiadomych nazywamy układ

Rozwiązaniem takiego układu równań jest para i która spełnia jednocześnie oba równania.

 

Przykład 1

Rozwiązaniem układu stopnia

jest para

To znaczy, gdy podstawimy i oba równania będą spełnione.

  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon

  • Rozwiązaniem układu jest para ,
  • Układ równań jest układem równań liniowych.
  • Rozwiązaniem układu jest para , .

Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny.

Definicja: Układ oznaczony

Układ równań liniowych nazywamy układem oznaczonym (równań niezależnych), jeżeli ma on dokładnie jedno rozwiązanie.

Przykład 2

Układ równań

jest układem oznaczonym, ponieważ posiada dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para

Definicja: Układ sprzeczny

Układ równań liniowych nazywamy układem sprzecznym, jeżeli nie posiada on rozwiązań.

Przykład 3

Układ równań

jest układem sprzecznym, ponieważ nie posiada rozwiązań.

Definicja: Układ nieoznaczony

Układ równań liniowych nazywamy układem nieoznaczonym (równań zależnych), jeżeli posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład 4

Układ równań

jest układem nieoznaczonym, ponieważ posiada nieskończenie wiele rozwiązań postaci:

gdzie

Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej

Układ równań, który nie posiada rozwiązań nazywamy
Układ równań, który posiada dokładnie jedno rozwiązanie nazywamy
Układ równań, który posiada wiele rozwiązań (więcej niż jedno) nazywamy
sprzecznym
oznaczonym
nieoznaczonym

Metoda podstawienia.

Metoda podstawiania rozwiązywania układów równań liniowych polega na tym, że z jednego równania, obliczamy jedną ze zmiennych. Np. . Następnie, tak obliczoną zmienną, zastępujemy w drugim równaniu, warunkiem, który obliczyliśmy. W ten sposób pozostaje do rozwiązania równanie z jedną niewiadomą (w przypadku układów stopnia ). Zobacz na przykłady poniżej:

Przykład 5

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

Z pierwszego równania wyznaczamy w zależności od :

teraz podstawiamy tą zależność do drugiego równania i otrzymujemy

Obliczamy , mając dane :

otrzymaliśmy rozwiązanie (układ jest oznaczony), którym jest para

Przykład 6

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

Z drugiego równania wyliczamy w zależności od :

teraz podstawiamy zależność na do pierwszego równania, otrzymujemy

otrzymaliśmy rozwiązanie:

  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon

  • Rozwiązaniem układu jest para , .
  • Rozwiązaniem układu jest para , .
  • Rozwiązaniem układu jest para , .

Metoda przeciwnych współczynników.

Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układów równań liniowych polega na doprowadzeniu równań do postaci, w której odpowiadające sobie współczynniki przy wybranej zmiennej np. będą przeciwne. Następnie równania dodajemy stronami i otrzymujemy równanie jednej zmiennej.

Najlepiej tą metodę przedstawić na przykładzie:

Przykład 7

Rozwiąż układ równań

metodą przeciwnych współczynników.

Chcemy, aby przy zmiennej w pierwszym i drugim równaniu układu były te same współczynniki tylko o przeciwnych znakach. Aby do tego doprowadzić, mnożymy  pierwsze równanie układu przez i otrzymujemy:

Dodajemy stronami oba równania. Redukuje się wówczas zmienna , co pozwala wyliczyć wartość :

Obliczamy drugą zmieną, czyli . Podstawiamy   do jednego z równań układu, np. do pierwszego:

otrzymaliśmy rozwiązanie

Przykład 8

Rozwiąż układ równań

metodą przeciwnych współczynników.

Przekształcamy równania układu tak, aby otrzymać przeciwne współczynniki przy zmiennej . Mnożymy w tym celu pierwsze równanie przez , a drugie przez :

Teraz dodajemy oba równania do siebie. Redukuje się zmienna , co pozwala obliczyć :

podstawiamy teraz do jednego z równań np. do drugiego

otrzymaliśmy rozwiązanie

Dopasuj do układów równań ich rozwiązania:




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Funkcja liniowa - wzór i własności
  2. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą graficzną oraz wyznacznikową.
  3. Wykres funkcji liniowej

Zadania do przećwiczenia (2):

Liceum » Funkcja liniowa » #30
5

Rozwiąż układ równań:

 


P
K
Liceum » Funkcja liniowa » #1074
0

Rozwiązaniem układu równań:

jest para liczb:


P
T

Zobacz zadania z działu funkcja liniowa(43)


Komentarze (
0
):