Definicja wyrażenia wymiernego. Wyznaczanie dziedziny wyrażenia wymiernego.

0

Spis treści

  1. Wyrażenie wymierne.
  2. Dziedzina wyrażenia wymiernego.
  3. Obliczanie wartości wyrażenia wymiernego.

Wyrażenie wymierne.

 

Definicja: Wyrażenie wymierne

Wyrażeniem wymiernym nazywamy wyrażenie postaci:

[tex]\cfrac{A(x)}{B(x)}[/tex]

gdzie:

[tex]A(x),B(x)[/tex] są wielomianami.

[tex]B(x)\neq 0[/tex] dla każdego [tex]x\in \mathbb{R}[/tex]

 

 

 

Przykład 1

[tex]\cfrac{x+4}{x - 3}[/tex]

[tex]\cfrac{2x^2+2x + 3}{x^3 - 2}[/tex]

 

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • Wyrażenie $\cfrac{\sin x}{2x}$ jest wyrażeniem wymiernym.
  • Wyrażenie $\cfrac{1}{2x^3}$ jest wyrażeniem wymiernym.
  • Wyrażenie $\cfrac{2x^3}{1}$ jest wyrażeniem wymiernym.

Dziedzina wyrażenia wymiernego.

Do góry

Istotne jest, aby mianownik wyrażenia wymiernego nie był zerem, ponieważ nie można dzielić przez zero. Dla każdego wyrażenia wymiernego [tex]\cfrac{A(x)}{B(x)}[/tex] wyznaczamy dziedzinę dla zmiennej [tex]x[/tex]. Jest to zbiór dopuszczalnych wartości zmiennej [tex]x[/tex].

 

Definicja: Dziedzina wyrażenia wymiernego.

Dziedziną wyrażenia wymiernego [tex]\cfrac{A(x)}{B(x)}[/tex] jest zbiór

[tex]D = \{x \in \mathbb{R}: B(x) \neq 0 \}[/tex]

Dziedzina to zbiór takich [tex]x \in \mathbb{R}[/tex], dla których mianownik nie jest zerem.

 

Przykład 2

Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego [tex]\cfrac{x+4}{x - 3}[/tex].

Szukamy dla jakich [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] mianownik nie jest zerem

[tex]x - 3 \neq 0[/tex]

[tex]x \neq 3[/tex]

czyli dziedziną jest

[tex]D = \mathbb{R} \setminus \{3\}[/tex]

Przykład 3

Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego [tex]\cfrac{x^2+2x + 3}{x^2 + 2}[/tex].

Szukamy dla jakich [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] mianownik nie jest zerem

[tex]x^2 + 2 \neq 0[/tex]

[tex]x^2 \neq -2[/tex]

ponieważ kwadrat każdej liczby jest nieujemny (nierówność jest spełniona dla [tex]x \in \mathbb{R}[/tex]), dziedziną jest

[tex]D = \mathbb{R}[/tex]

Do góry
Dopasuj dziedziny po prawej do ich wyrażeń po lewej
$\cfrac{x+2}{x^2-9}$
$\cfrac{x-1}{2x^2-4x + 2}$
$\cfrac{x^3 - x^2}{2x^4-32}$
$x \in \mathbb{R} \setminus \{ -3, 3 \}$
$x \in \mathbb{R} \setminus \{ 1 \}$
$x \in \mathbb{R} \setminus \{ -2,2 \}$

Obliczanie wartości wyrażenia wymiernego.

Do góry

Obliczenie wartości wyrażenia wymiernego dla zadanej liczby [tex]x[/tex] z dziedziny ([tex]x \in D[/tex]) polega na wyliczeniu wartości ułamka po podstawieniu w miejsce zmiennej [tex]x[/tex] zadanej wartości.

Przykład 4

Oblicz wartość wyrażenia [tex]\cfrac{x^2+2x+1}{x-3}[/tex] dla [tex]x = 2[/tex].

Liczba [tex]2[/tex] należy do dziedziny tego wyrażenia wymiernego, zatem wstawiamy w miejsce zmiennej [tex]x[/tex] wartość [tex] 2 [/tex] i otrzymujemy:

[tex]\cfrac{2^2 + 2 \cdot 2 + 1}{2 - 3} = \cfrac{4 + 4  + 1}{-1} = \cfrac{9}{-1} = -9[/tex]

 

 

UWAGA!

Przed obliczeniem wartości wyrażenia w zadanym punkcie należy wyznaczyć dziedzinę wyrażenia. Jeżeli liczba nie należy do wyznaczonej dziedziny to wyrażenie nie posiada wartości dla tej liczby.

Przykład 5

Oblicz wartość wyrażenia [tex]\cfrac{2x + 3}{x^3 + x^2}[/tex] dla [tex]x = 1[/tex].

Wstawiamy w miejsce zmiennej [tex]x[/tex] wartość [tex] 1 [/tex]

[tex]\cfrac{2 \cdot 1 + 3}{1^3 + 1^2} = \cfrac{2 + 3}{1 + 1} = \cfrac{5}{2}[/tex]

Do góry
Dopasuj wartość wyrażenia po prawej do wyrażenia po lewej
Dla $x = 9$ wyrażenie $\cfrac{\cfrac{2}{9}x - 1}{x^2}$ wynosi
Dla $x = -1$ wyrażenie $\cfrac{1-x-x^5}{1-x}$ wynosi
Dla $x = 2$ wyrażenie $\cfrac{5x^2 - 1}{2x-9}$ wynosi
$\cfrac{1}{81}$
$\cfrac{3}{2}$
$-\cfrac{19}{5}$


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (1):

Liceum » Funkcja wymierna, wyrażenia wymierne » #96
2

Wyznacz dziedzinę następującego wyrażenia wymiernego:

[tex]\cfrac{x^2+6x+7}{x^3+6x^2+12x+8}[/tex]

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (3)

Komentarze (
0
):