Działania na wyrażeniach wymiernych

0

Spis treści

  1. Rozszerzanie wyrażeń wymiernych.
  2. Skracanie wyrażeń wymiernych.
  3. Dodawanie wyrażeń wymiernych.
  4. Odejmowanie wyrażeń wymiernych.
  5. Mnożenie wyrażeń wymiernych.
  6. Dzielenie wyrażeń wymiernych.

Rozszerzanie wyrażeń wymiernych.

Rozszerzanie wyrażeń wymiernych polega na przemnożeniu licznika i mianownika przez to samo, niezerowe wyrażenie.

Wzór: Rozszerzanie wyrażeń wymiernych.

[tex]\cfrac{W(x)}{P(x)} = \cfrac{Q(x) \cdot W(x)}{ Q(x) \cdot P(x)}[/tex]

gdzie [tex] Q(x) \neq 0 [/tex]

[tex] W(x), P(x), Q(x)[/tex] - to wyrażenia wymierne.

Przykład 1

Mnożymy licznik i mianownik przez [tex](x+3)[/tex]:

[tex]\cfrac{x+2}{2-x} = \cfrac{(x+3) \cdot (x+2)}{(x+3) \cdot (2-x)}[/tex]

Mnożymy licznik i mianownik przez [tex]2[/tex]:

[tex]\cfrac{x+1}{x^3+1} = \cfrac{2 \cdot (x+1)}{2 \cdot (x^3+1)} = \cfrac{2x+2}{2x^3 + 2}[/tex]

Do góry
Dopasuj te same wyrażenia do siebie:
$\cfrac{x+1}{2}=$
$\cfrac{x+1}{x-1}=$
$\cfrac{2x+2}{4}$
$\cfrac{x^2+2x+1}{x^2-1}$

Skracanie wyrażeń wymiernych.

Do góry

Skracanie wyrażenia wymiernego polega na podzieleniu licznika i mianownik przez to samo niezerowe wyrażenie.

 

Wzór: Skracanie wyrażenia wymiernego.

[tex]\cfrac{W(x)}{P(x)} = \cfrac{W(x) \div Q(x)}{ P(x) \div Q(x)}[/tex]

gdzie [tex] Q(x) \neq 0 [/tex]

 

 

Przykład 2
  • Skracamy ułamek:

[tex]\cfrac{2}{4} = \cfrac{2 \div 2}{4 \div 2} = \cfrac{1}{2}[/tex]

  • Dzielimy licznik i mianownik przez [tex]x+1[/tex]:

[tex] \cfrac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \cfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \cfrac{x -1}{x+1}[/tex]

 

 

Do góry
Dopasuj te same wyrażenia do siebie:
$\cfrac{x^3-1}{(x-1)(x^2+x+1)}$
$\cfrac{(x+1)^2}{x^3+3x^2+3x+1}$
$1$
$\cfrac{1}{x+1}$

Dodawanie wyrażeń wymiernych.

Do góry

 

Wzór: Dodawanie wyrażeń wymiernych.

[tex]\cfrac{W(x)}{P(x)} + \cfrac{Z(x)}{P(x)} = \cfrac{W(x) + Z(x)}{P(x)}[/tex]

 

UWAGA!

Zauważ, że dodajemy wyrażenia wymierne o tym samym mianowniku [tex]P(x)[/tex].

Przykład 3

[tex]\cfrac{1}{2} + \cfrac{3}{2} = \cfrac{1 + 3}{2} = \cfrac{4}{2} = 2[/tex]

 

[tex]\cfrac{x+1}{x} + \cfrac{1-x}{x} = \cfrac{x + 1 + 1 - x}{x} = \cfrac{2}{x}[/tex]

 

UWAGA!

Jeżeli dodajemy wyrażenia wymierne o innych mianownikach, należy je rozszerzyć lub skrócić, tak aby uzyskać takie same mianowniki dodawanych wyrażeń.

Przykład 4

[tex]\cfrac{5}{3} + \cfrac{3}{2} = \cfrac{5\cdot 2}{3 \cdot 2} + \cfrac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \cfrac{10}{6} + \cfrac{9}{6} = \cfrac{19}{6}[/tex]

Do góry
Dopasuj elementy po stronie lewej, do elementów po stronie prawej:
$\cfrac{1}{x} + \cfrac{x+1}{x-1}=$
$x + \cfrac{1}{x}=$
$\cfrac{x^2+2x-1}{x^2-x}$
$\cfrac{x^2+1}{x}$

Odejmowanie wyrażeń wymiernych.

Do góry

 

 

Wzór: Odejmowanie wyrażeń wymiernych.

[tex]\cfrac{W(x)}{P(x)} - \cfrac{Z(x)}{P(x)} = \cfrac{W(x) - Z(x)}{P(x)}[/tex]

 

UWAGA!

Zauważ, że odejmujemy wyrażenia wymierne o tym samym mianowniku [tex]P(x)[/tex].

Przykład 5

[tex]\cfrac{1}{2} - \cfrac{3}{2} = \cfrac{1 - 3}{2} = \cfrac{-2}{2} = -1[/tex]

[tex]\cfrac{x+1}{x} - \cfrac{1-x}{x} = \cfrac{(x + 1) - (1 - x)}{x} = \cfrac{x + 1 - 1 + x}{x} = \cfrac{2x}{x} = 2[/tex]

 

 

UWAGA!

Jeżeli odejmujemy wyrażenia wymierne o innych mianownikach, należy je rozszerzyć lub skrócić, tak aby uzyskać identyczne mianowniki odejmowanych wyrażeń.

 

Przykład 6

[tex]\cfrac{5}{3} - \cfrac{3}{2} = \cfrac{5\cdot 2}{3 \cdot 2} - \cfrac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \cfrac{10}{6} - \cfrac{9}{6} = \cfrac{1}{6}[/tex]

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej
$\cfrac{x}{x-1} - \cfrac{x-1}{x}=$
$\cfrac{1}{x^3} - \cfrac{1}{x}=$
$\cfrac{2x-1}{x^2-x}$
$-\cfrac{(x-1)(x+1)}{x^3}$

Mnożenie wyrażeń wymiernych.

Do góry

Gdy mnożymy dwa wyrażenia wymierne przez siebie, to mnożymy licznik pierwszego wyrażenia przez licznik drugiego, i  podobnie mianownik pierwszego mnożymy przez mianownik drugiego.

 

Wzór: Mnożenie wyrażeń wymiernych.

[tex]\cfrac{W(x)}{P(x)} \cdot \cfrac{Z(x)}{Q(x)} = \cfrac{W(x) \cdot Z(x)}{P(x) \cdot Q(x)}[/tex]

 

Przykład 7

[tex]\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{3}{2} = \cfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \cfrac{3}{4}[/tex]

 

[tex]\cfrac{x+1}{x} \cdot \cfrac{1-x}{x} = \cfrac{(x + 1) \cdot (1 - x)}{x \cdot x} = \cfrac{x - x^2 + 1 - x}{x^2} = \cfrac{1 - x^2}{x^2}[/tex]

 

 

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej
$\cfrac{x^2-1}{x} \cdot \cfrac{2x}{(x+1)^2}$
$\cfrac{5x+1}{2x} \cdot \cfrac{1}{x^2}$
$\cfrac{2x-2}{x+1}$
$\cfrac{5x+1}{2x^3}$

Dzielenie wyrażeń wymiernych.

Do góry

Dzielenie wyrażeń wymiernych polega na pomnożeniu przez wyrażenie odwrotne.

Wzór: Dzielenie wyrażeń wymiernych.

[tex]\cfrac{W(x)}{P(x)} \div \cfrac{Z(x)}{Q(x)} = \cfrac{W(x)}{P(x)} \cdot \cfrac{Q(x)}{Z(x)}[/tex]

 

 

Przykład 8

[tex]\cfrac{1}{2} \div \cfrac{3}{2} = \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{2}{3} = \cfrac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3}[/tex]

 

[tex]\cfrac{x+1}{x} \div \cfrac{1-x}{x} = \cfrac{x+1}{x} \cdot \cfrac{x}{1-x}  = \cfrac{(x + 1) \cdot x}{x \cdot (1 -x)} = \cfrac{x+1}{1-x}[/tex]

 

 

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej
$\cfrac{2}{6} \div \cfrac{1}{2}=$
$\cfrac{3x+4}{2x} \div \cfrac{3x+4}{x}=$
$\cfrac{2}{3}$
$\cfrac{1}{2}$


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (2):

Liceum » Funkcja wymierna, wyrażenia wymierne » #405
2

Sprowadź wyrażenie  [tex]\cfrac{x^2-2x+1}{x^2-4}\cdot \cfrac{x+2}{x-1}+\cfrac{1}{x-2}[/tex] do najprostszej postaci.

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (2)
Liceum » Funkcja wymierna, wyrażenia wymierne » #336
2

Wykonaj działania:

[tex]\cfrac{x+3}{x}-\cfrac{x-7}{2}+\cfrac{4}{x}[/tex]

P
K
Zobacz rozwiązanie

Komentarze (
0
):