Proste równania wymierne

[tex]\cfrac{x^2 + 2x + 1}{x} = 0[/tex]

Sprawdź czy [tex]2[/tex] i [tex]-3[/tex] są rozwiązaniami równania wymiernego [tex]\cfrac{x^2 - x -2}{x+3} = 0[/tex].

 

Wyznaczamy dziedzinę - mianownik nie może być zerem:

[tex]x+3\neq 0[/tex]

[tex]x \neq -3[/tex]

Podstawiamy [tex]x=2[/tex] do lewej strony równania:

[tex]\cfrac{2^2 - 2 - 2}{2 + 3} = \cfrac{4 - 2 - 2}{5} = \cfrac{0}{5} = 0[/tex]

Liczba ta spełnia to równanie, czyli jest rozwiązaniem.

Ponieważ [tex]-3[/tex] nie należy do dziedziny równania [tex]x \neq -3[/tex] stąd liczba [tex]-3[/tex] nie jest rozwiązaniem.

Rozwiąż równanie [tex]\cfrac{x^2 + 2x + 1}{x} = 0[/tex].

 

Przekształcamy równanie do postaci równoważnej

[tex]\cfrac{x^2 + 2x + 1}{x} = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x + 1 = 0 \wedge x \neq 0[/tex]

zajmijmy się równaniem:

[tex]x^2 + 2x + 1 = 0[/tex]

Z wzoru skróconego mnożenia mamy:

[tex](x + 1)^2 = 0[/tex]

zatem

[tex]x + 1 = 0[/tex]

[tex]x = -1[/tex]

Otrzymaliśmy wynik, który jest zgodny z dziedziną [tex]x \neq 0[/tex].

Rozwiąż równanie [tex]\cfrac{x^2 - 9}{2x^2 + 6x} = 0[/tex].

 

Wyznaczamy dziedzinę:

[tex]2x^2 + 6x \neq 0[/tex]

[tex]2x(x + 3) \neq 0[/tex]

[tex]x \neq 0 \wedge x + 3 \neq 0[/tex]

[tex]x \neq 0 \wedge x \neq -3[/tex]

[tex]x \in \mathbb{R} \setminus \{ -3, 0 \}[/tex]

Przekształcamy równanie stosując dla licznika wzór skróconego mnożenia, a dla mianownika wyłączamy [tex]2x[/tex] przed nawias

[tex]\cfrac{(x-3)(x+3)}{2x(x + 3)} = 0[/tex]

[tex]\cfrac{x-3}{2x} = 0[/tex]

Ułamek jest równy [tex]0[/tex], gdy licznik jest równy [tex]0[/tex]:

[tex]x - 3 = 0[/tex]

[tex]x = 3[/tex]

Otrzymany wynik należy do dziedziny wyrażenia wymiernego i spełnia równanie, zatem jest rozwiązaniem.

 

Rozwiąż równanie [tex]\cfrac{x^3 + 4x^2 + 3x}{x^2 + 12x +35} = 0[/tex].

 

Równanie przekształcamy do postaci równoważanej:

[tex]x^3 + 4x^2 + 3x = 0 \wedge x^2 + 12x + 35 \neq 0[/tex]

Zajmijmy się drugą nierównością (dziedziną):

[tex]x^2 + 12x + 35 \neq 0[/tex]

Liczymy wyróżnik delta, żeby znaleźć pierwiastki trójmianu.

[tex]\Delta = {12}^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4[/tex]

Równanie posiada pierwiastki:

[tex]x_1 = \cfrac{ - 12 - \sqrt{4} }{2 \cdot 1} = \cfrac{-12 -2}{2} = -7[/tex]

[tex]x_2 = \cfrac{ - 12 + \sqrt{4} }{2 \cdot 1} = \cfrac{-12 +2}{2} = -5[/tex]

zatem:

[tex]x \neq -7 \wedge x \neq -5[/tex]

lub inaczej

[tex]x \in \mathbb{R} \setminus \{ -7, -5 \}[/tex]

Zajmijmy się równaniem licznika:

[tex]x^3 + 4x^2 + 3x = 0[/tex]

[tex]x(x^2+4x +3) = 0[/tex]

Iloczyn jest zerem, jeżeli którykolwiek z jego czynników jest zerem.

[tex]x = 0 \vee x^2 + 4x + 3 = 0[/tex]

Zajmijmy się równością kwadratową:

[tex]x^2 + 4x + 3 = 0[/tex]

Liczymy wyróżnik delta, żeby znaleźć pierwiastki trójmianu

[tex]\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4[/tex]

równanie posiada pierwiastki

[tex]x_1 = \cfrac{ - 4 - \sqrt{4} }{2 \cdot 1} = \cfrac{-4 -2}{2} = -3[/tex]

[tex]x_2 = \cfrac{ - 4 + \sqrt{4} }{2 \cdot 1} = \cfrac{-4 +2}{2} = -1[/tex]

zatem

[tex]x = -3 \vee x = -1[/tex]

uwzględniając [tex]x = 0 \vee x^2 + 4x + 3 = 0[/tex] poprzednio liczoną alternatywę

[tex]x = 0 \vee x = -3 \vee x = -1[/tex]

widać, że znalezione rozwiązania należą do dziedziny wyrażenia [tex]x \in \mathbb{R} \setminus \{ -7, -5 \}[/tex], stąd otrzymujemy rozwiązania:

[tex]x= -3[/tex] lub  [tex]x=-1[/tex] lub [tex]x=0[/tex]