Spis treści
Funkcja homograficzna.
Funkcję [tex]f[/tex] określoną wzorem
[tex]f(x) = \cfrac{a}{x}[/tex]
na zbiorze [tex]\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}[/tex] nazywamy funkcją homograficzną.
Dziedziną funkcji homograficznej (zgodnie z definicją) jest zbiór [tex]\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}[/tex].
Zbiorem wartości (przeciwdziedziną) funkcji homograficznej jest [tex]\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}[/tex].
Wykresem funkcji homograficznej [tex]y = \cfrac{a}{x}[/tex] jest hiperbola, która posiada dwie asymptoty:
- prosta [tex]y = 0[/tex] jest asymptotą poziomą
- prosta [tex]x = 0[/tex] jest asymptotą pionową
Monotoniczność funkcji homograficznej.
- Dla [tex]a > 0[/tex] funkcja homograficzna jest malejąca w przedziałach [tex](-\infty, 0)[/tex] i [tex](0, +\infty)[/tex].
Spójrz na rysunek poniżej.
- Dla [tex]a < 0[/tex] funkcja homograficzna jest rosnąca w przedziałach [tex](-\infty, 0)[/tex] i [tex](0, +\infty)[/tex].
Spójrz na rysunek poniżej
Wykres funkcji homograficznej dla różnych [tex]a[/tex] dodatnich:
Wykres funkcji homograficznej dla różnych [tex]a[/tex] ujemnych:
- Zmniejszanie wartości [tex]|a|[/tex] powoduje zbliżenie się hiperboli do osi układu.
- Zwiększanie wartości [tex]|a|[/tex] powoduje oddalenie się hiperboli do osi układu.
- Dla [tex]a[/tex] dodatnich wykres funkcji leży w ćwiartce I i III układu współrzędnych.
- Dla [tex]a[/tex] ujemnych wykres funkcji leży w ćwiartce II i IV układu współrzędnych.
Wykres funkcji homograficznej - hiperbola.
Wykresem funkcji [tex]f(x) = \cfrac{a}{x}[/tex] jest hiperbolą składającą się niejako z dwóch części. Aby narysować jej przybliżony wykres, wyznaczamy kilka punktów tej hiperboli dla [tex]x>0[/tex] i [tex]x<0[/tex].
Następnie rysujemy hiperbolę, której asymptotami są osie układu. Im więcej zaznaczymy punktów, które należą do wykresu funkcji, tym bardziej dokładny będzie jej wykres.
Narysuj wykres [tex]y = \cfrac{-2}{x}[/tex].
Wyznaczamy punkty należące do wykresu tej funkcji.
- Jeżeli [tex]x=2[/tex] to [tex]y=\cfrac{-2}{2}=-1[/tex].
Zatem do wykresu funkcji należy punkt:
[tex]A_1 = (2, -1)[/tex]
- Podobnie dla [tex]x=1[/tex] otrzymujemy [tex]y=\cfrac{-2}{1}=-2[/tex]
[tex]B_1 =(1, -2)[/tex]
Teraz wyznaczmy punkty dla [tex]x<0[/tex].
- Jeżeli [tex]x=-2[/tex] to [tex]y=\cfrac{-2}{-2}=1[/tex].
[tex]A_2 = (-2, 1)[/tex]
- Jeżeli [tex]x=-1[/tex] to [tex]y=\cfrac{-2}{-1}=2[/tex].
[tex]B_2 = (-1, 2)[/tex]
Nanosimy punkty do układu współrzędnych
Rysujemy pierwszą część hiperboli przechodzącą przez punkty [tex]A_1, B_1[/tex] przyjmując osie układu za asymptoty
Rysujemy drugą część hiperboli przechodzącą przez punkty [tex]A_2, B_2[/tex] przyjmując osie układu za asymptoty. Podpisujemy wykres.
Aby uzyskać większą dokładność wykresu powinniśmy zwiększyć ilość wyliczonych punktów.
Proporcjonalność odwrotna.
Proporcjonalność odwrotna to taka zależność między dwiema zmiennymi wielkościami [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex], w której iloczyn tych wielkości jest stały. Czyli:
[tex]x \cdot y=a[/tex]
gdzie
[tex]a \in \mathbb{R}[/tex]
Wielkości [tex] x [/tex] i [tex] y [/tex] są odwrotnie proporcjonalne.
Z powyższego wzoru możemy obliczyć $x$ w zależności od $y$, wtedy:
[tex]x=\cfrac{a}{y}[/tex]
oraz $y$ w zależności od $x$, wtedy:
[tex]y=\cfrac{a}{x}[/tex]
Zauważ że ostatni wzór to wzór funkcji homograficznej.
Wielkości odwrotnie proporcjonalne możemy opisywać za pomocą funkcji homograficznej.
Weźmy dla przykładu podstawowy wzór fizyczny:
[tex]v=\cfrac{s}{t}[/tex].
Zakładając że droga (s) jest stała, prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do czasu. Np. jedzie samochód z miasta A do miasta B. Im szybciej jedzie, tym mniej czasu mu to zajmie. Odległość między tymi miastami się nie zmienia, czyli droga (s) jest wielkością stałą.
Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski.
Dzięki :)
Komentarze (0
):
Logowanie Aby dodać komentarz musisz się zalogować.
Nie masz
jeszcze konta?
Załóż darmowe konto w 30 sekund.
Rejestracja
Nie pamiętasz hasła?