Interpretacja nierówności liniowych na płaszczyźnie.

Nierówności liniowe na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Dana jest prosta o równaniu [tex]y=ax+b[/tex].  Prosta ta dzieli płaszczyznę na dwie części. W jednej części mamy punty, które spełniają nierówność

[tex]y<ax+b[/tex]

a w drugiej części mamy punkty, które spełniają nierówność odwrotną

[tex]y>ax+b[/tex].

Zawsze punkty spełniające nierówność [tex]y>ax+b[/tex] znajdują się powyżej prostej [tex]y=ax+b[/tex]:

• gdy [tex]a>0[/tex], to:

 

• gdy [tex]a<0[/tex], to:

 

Punkty  [tex]y<ax+b[/tex] znajdują się poniżej  prostej [tex]y=ax+b[/tex]:

• gdy [tex]a>0[/tex], to:

 

• gdy [tex]a<0[/tex], to:

 

 

 

Na powyższym rysunku żółtym kolorem została zaznaczona półpłaszczyzna, której punkty spełniają nierówność [tex]y<x+5[/tex].

[tex]\left\{\begin{matrix}
y<-2x+5\\
y<4x+9\\
\end{matrix}\right.[/tex].

Rysujemy najpierw proste:

[tex]y=-2x+5[/tex]

[tex]y=4x+9[/tex]

Zaznaczamy półpłaszczyznę [tex]y<-2x+5[/tex]. (Wszystkie punkty poniżej prostej [tex]y=-2x+5[/tex])

 

Teraz rysujemy drugą półpłaszczyznę [tex]y<4x+9[/tex]. (Wszystkie punkty poniżej prostej [tex]y=4x+9[/tex]).

 

Zatem punkty, które jednocześnie spełniają obie nierówności to:

 

Za pomocą układów nierówności liniowych, możemy opisywać figury geometryczne na płaszczyźnie kartezjańskiej.

[tex]\left\{\begin{matrix}
y>-x-5\\
y>x-4\\
y<x+5\\
y<-x+4
\end{matrix}\right.[/tex]

Zaznaczamy punkty, które równocześnie spełniają wszystkie nierówności, tzn są

• powyżej prostej [tex]y=-x-5[/tex]
• powyżej prostej [tex]y=x-4[/tex]
• poniżej prostej [tex]y=x+5[/tex]
• poniżej prostej [tex]y=-x+4[/tex]

W rezultacie otrzymujemy równoległobok:

 

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Geometria analityczna » #576

 

[tex]a)[/tex] Opisz za pomocą układu nierówności czworokąt opisany na rysunku.

[tex]b)[/tex] Sprawdź czy w ten czworokąt można wpisać okrąg.

[tex]c)[/tex] Oblicz pole czworokąta [tex]ABCD[/tex].

 

---

Liceum » Geometria analityczna » #586

Oblicz pole obszaru opisanego za pomocą układu nierówności:

[tex]\left\{\begin{matrix}
 (x-2)^2+(y-3)^2 \leq 1\\y>3\\y> \sqrt{3}x+3-2\sqrt{3}

\end{matrix}\right. [/tex]

---

Liceum » Geometria analityczna » #577

Trójkąt [tex]ABC[/tex] jest opisany za pomocą układu nierówności:

[tex]\left\{\begin{matrix}
y>|x+5|\\
y<\cfrac{1}{5}x+\cfrac{17}{5}
\end{matrix}\right.[/tex].

[tex]a) [/tex] Znajdź współrzędne wierzchołków trójkąta [tex]ABC[/tex].

[tex]b) [/tex] Znajdź równanie okręgu opisanego na trójkącie [tex]ABC[/tex].

---