Prosta na płaszczyźnie kartezjańskiej

0

Spis treści

  1. Postać ogólna i postać kierunkowa prostej.
  2. Proste prostopadłe.
  3. Proste równoległe.
  4. Wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez zadane dwa punkty.
  5. Wyznaczanie równania prostej mając dany punkt przez który przechodzi oraz jej współczynnik kierunkowy.

Postać ogólna i postać kierunkowa prostej.

Równanie prostej na płaszczyźnie kartezjańskiej możemy przedstawiać w postaci:

Ogólnej

Wzór: Równanie prostej w postaci ogólnej.

[tex]Ax+By+C=0[/tex]

gdzie:

[tex]A^2+B^2>0[/tex]

 

Kierunkowej

Wzór: Równanie prostej w postaci kierunkowej.

[tex]y=ax+b[/tex]

gdzie:

[tex]a[/tex]  - współczynnik kierunkowy prostej

[tex]b[/tex]  - punk przecięcia z osią [tex]OY[/tex]

 

UWAGA!

Współczynnik kierunkowy prostej [tex]a[/tex] jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi [tex]OX[/tex].

[tex]a=\tan\alpha[/tex]


Przykład 1

Dane jest równanie prostej w postaci ogólnej [tex]3x+4y+9=0[/tex]. Przedstaw równanie tej prostej w postaci kierunkowej.

[tex]3x+4y+9=0[/tex]

Przekształcamy to równanie tak, aby wyliczyć [tex]y[/tex]:

[tex]4y=-3x-9[/tex]

[tex]y=-\cfrac{3}{4}x-\cfrac{9}{4}[/tex]

 

Przykład 2

Dane jest równanie prostej w postaci kierunkowej [tex]y=\cfrac{1}{2}x+3[/tex]. Przedstaw równanie tej prostej w postaci ogólnej.

[tex]y=\cfrac{1}{2}x+3[/tex]

Mnożymy równanie obustronnie przez [tex]2[/tex]:

[tex]2y=x+6[/tex]

[tex]x-2y+6=0[/tex]

Do góry
Do równań ogólnych prostych dopasuj równania kierunkowe tych prostych:
$2x+y+4=0$
$\cfrac{3}{4}x+2y+1=0$
$\cfrac{1}{2}x+\cfrac{3}{4}y+1=0$
$y=-2x-4$
$y=-\cfrac{3}{8}x-\cfrac{1}{2}$
$y=-\cfrac{2}{3}x-\cfrac{4}{3}$

Proste prostopadłe.

Do góry

Twierdzenie: Warunek prostopadłości prostych

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci ogólnej:

[tex]k: A_1x+B_1y+C_1=0[/tex]

[tex]l: A_2x+B_2y+C_2=0[/tex]

to te dwie proste są prostopadłe jeżeli jest spełniony warunek:

[tex]A_1A_2+B_1B_2=0[/tex]

 

 

Przykład 3

Sprawdź czy proste [tex]m: 3x+5y+9=0[/tex] i [tex]n: 2x+5y+23=0[/tex] są prostopadłe.

Zgodnie z powyższym, sprawdzamy warunek:

[tex]3\cdot 2+5 \cdot 5=6+25=31 \neq 0[/tex]

Zatem te proste nie są prostopadłe.

Twierdzenie: Warunek prostopadłości prostych (2)

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci kierunkowej:

[tex]k: y=a_1x+b_1[/tex]

[tex]l: y=a_2x+b_2[/tex]

to te dwie proste są prostopadłe jeżeli jest spełniony warunek:

[tex]a_1 \cdot a_2=-1[/tex]

 

Przykład 4

Sprawdź czy proste [tex]m: y=4x+5[/tex] i [tex]n: y=-\cfrac{1}{4}x+24[/tex] są prostopadłe.

Zgodnie z powyższym, sprawdzamy warunek:

[tex]4\cdot \left(-\cfrac{1}{4}\right)=-1[/tex]

Zatem te proste są prostopadłe.

UWAGA!

Proste prostopadłe oznaczamy symbolem  [tex]\perp[/tex].

Do góry
  • Dane są proste o równaniach: $k: y=2x+7$ $l: x+2y-20=0$ $m: 3x+7y+2=0$
    Approved-icon Alert-icon
  • Czy $k \perp m$?
  • Czy $l \perp m$?
  • Czy $k \perp l$?

Proste równoległe.

Do góry

 

Twierdzenie: Warunek równoległości prostych

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci ogólnej:

[tex]k: A_1x+B_1y+C_1=0[/tex]

[tex]l: A_2x+B_2y+C_2=0[/tex]

to te dwie proste są równoległe jeżeli jest spełniony warunek:

[tex]A_1B_2-A_2B_1=0[/tex]

Przykład 5

Sprawdź czy proste [tex]m: 2x+4y+9=0[/tex] i [tex]n: 3x+6y+7=0[/tex] są równoległe.

 

Zgodnie z powyższym, sprawdzamy warunek:

[tex]2 \cdot 6-4 \cdot 3=12-12=0[/tex]

Zatem te proste są równoległe.

Twierdzenie: Warunek równoległości prostych

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci kierunkowej:

[tex]k: y=a_1x+b_1[/tex]

[tex]l: y=a_2x+b_2[/tex]

to te dwie proste są równoległe jeżeli jest spełniony warunek:

[tex]a_1 = a_2[/tex]

 

Przykład 6

Sprawdź czy proste [tex]m: y=x+5[/tex] i [tex]n: y=-x+5[/tex] są równoległe.

 

Współczynniki kierunkowe obu prostych są różne, zatem te proste nie są równoległe.

 

UWAGA!

Proste równoległe oznaczamy symbolem  [tex]\parallel[/tex].

 


Do góry
Do prostych po stronie lewej dopasuj proste do nich równoległe.
$y=3x+7$
$y=\cfrac{1}{2}x+7$
$y=7x+1$
$9x-3y+2=0$
$x-2y+3=0$
$21x-3y+1$ $=0$

Wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez zadane dwa punkty.

Do góry

Przykład 7

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty [tex]A=(3,4)[/tex] i [tex]B=(5,8)[/tex].

 

Równanie prostej w postaci kierunkowej to: [tex]y=ax+b[/tex]. Musimy wyznaczyć wartości współczynników [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex]. Tworzymy układ równań, podstawiając za [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] współrzędne punktów [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] przez które przechodzi ta prosta. Czyli:

[tex]A=(3,4)[/tex] -  po podstawieniu współrzędnych do równania kierunkowego prostej otrzymujemy:

[tex]4=3a+b[/tex]

[tex]B=(5,8)[/tex] -  po podstawieniu współrzędnych do równania kierunkowego prostej otrzymujemy:

[tex]8=5a+b[/tex]

Tworzymy układ równań:

[tex]\left\{\begin{matrix}
4=3a+b\\ 8=5a+b
\end{matrix}\right.[/tex]

Rozwiązujemy go i wyznaczamy wartości współczynników [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex]. Z pierwszego równania wyznaczamy [tex]b[/tex] w zależności od [tex]a[/tex]:

[tex]b=4-3a[/tex]

Wstawiamy tą zależność do drugiego równania:

[tex]8=5a+ 4-3a[/tex]

[tex]8=2a+4[/tex]

[tex]2a=4[/tex]

[tex]a=2[/tex]

Obliczamy [tex]b[/tex]:

[tex]b=4-3a=4-3\cdot 2=4-6=-2[/tex]

Zatem równanie szukanej prostej to:

[tex]y=2x-2[/tex]

Do góry
Do punktów po lewej stronie dopasuj równanie prostej przez nie przechodzącej:
$A=(2,4), B=(7,8)$
$P=(1,1), Q=(3,5)$
$M=(-2,3), N=(-1,-7)$
$y=\cfrac{4}{5}x+\cfrac{12}{5}$
$y=2x-1$
$y=-10x-17$

Wyznaczanie równania prostej mając dany punkt przez który przechodzi oraz jej współczynnik kierunkowy.

Do góry

Przykład 8

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt [tex]P=(4,5)[/tex] jeżeli wiadomo, że współczynnik kierunkowy tej prostej wynosi [tex]5[/tex].

Równanie ogólne prostej to [tex]y=ax+b[/tex]. Z treści zadania wiemy, że współczynnik kierunkowy szukanej prostej to [tex]5[/tex], zatem równanie tej prostej to:

[tex]y=5x+b[/tex]

Podstawiając do tego równania współrzędne punktu [tex]P=(4,5)[/tex] przez który przechodzi ta prosta, obliczymy współczynnik [tex]b[/tex].

[tex]5=5 \cdot 4+b[/tex]

[tex]5=20+b[/tex]

[tex]b=5-20=-15[/tex]

Zatem równanie szukanej prostej to:

[tex]y=5x-15[/tex]

Przykład 9

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt [tex]P=(3,2)[/tex] jeżeli wiadomo że prosta ta jest nachylona do osi [tex]OX[/tex] pod kątem [tex]45^{\circ}[/tex].

 

W tym zadaniu  nie mamy wprost danego współczynnika kierunkowego prostej. Ale przypomnijmy, że:

[tex]a=\tan\alpha[/tex]

gdzie [tex]\alpha[/tex] to kąt nachylenia prostej do osi [tex]OX[/tex]. Z tej zależności obliczamy [tex]a[/tex]:

[tex]a=\tan45^{\circ}=1[/tex]

Zatem równanie szukanej prostej przyjmuje postać:

[tex]y=x+b[/tex]

Podstawiając współrzędne punktu [tex]P=(3,2)[/tex] obliczamy współczynnik [tex]b[/tex]:

[tex]2=3+b[/tex]

[tex]b=2-3=-1[/tex]

Zatem równanie szukanej prostej to:

[tex]y=x-1[/tex]

Do góry


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (4):

Liceum » Geometria analityczna » #136
0

Wyznacz równanie prostej, jeżeli wiadomo, że jej wykres przechodzi przez punkt [tex]A=(5,3)[/tex], oraz przez punkt [tex]B[/tex], będący środkiem odcinka [tex]CD[/tex], gdzie [tex]C=(2,7)[/tex], [tex]D=(4,1)[/tex].

P
D
Zobacz rozwiązanie
Podobne (1)
Liceum » Funkcja liniowa » #678
0

Prosta  [tex]l[/tex]  ma równanie [tex] y=7x+9[/tex].  Prosta [tex]k[/tex]  jest do niej równoległa. Wskaż równanie prostej [tex]k[/tex].

P
T
Zobacz rozwiązanie
Podobne (1)
Liceum » Geometria analityczna » #130
0

Wiadomo, że prosta [tex]k[/tex] jest prostopadła do prostej [tex]l[/tex]. Współczynnik kierunkowy prostej [tex]l[/tex] to [tex]-\cfrac{1}{3}[/tex] oraz przecina oś [tex]OY[/tex] w punkcie [tex]B=(0,2)[/tex]. Prosta [tex]k[/tex] przechodzi przez punkt [tex]A=(1,8)[/tex]. Znajdź równania kierunkowe obu prostych.

P
D
Zobacz rozwiązanie
Liceum » Funkcja liniowa » #679
0

Prosta [tex]l[/tex] ma równanie [tex]y=5x+3[/tex]. Prosta [tex]k[/tex] jest do niej prostopadła oraz przechodzi przez punkt  [tex]P=(0,6)[/tex]. Wskaż równanie prostej [tex]k[/tex]:

P
T
Zobacz rozwiązanie
Podobne (1)

Komentarze (
0
):