Przekroje ostrosłupów.

Różne przekroje ostrosłupów.

Poniżej kilka przykładów przekrojów ostrosłupów płaszczyzną:

•  Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa.

 

• Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość ostrosłupa:

•  Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środki przeciwległych krawędzi bocznych:

• Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krótszą przekątną podstawy i krawędź boczną:

 

• Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez dłuższą przekątną podstawy i krawędź boczną:

W zadaniu mamy obliczyć pole powierzchni następującego przekroju:

Zatem musimy znać wysokość [tex]H[/tex] ostrosłupa, oraz przekątną podstawy. Wówczas z wzrou

[tex]P=\cfrac{|BD| \cdot H}{2}[/tex]

obliczymy szukane pole. W treści zadania mamy dane dwie rzeczy: długość krawędzi podstawy [tex]a[/tex] oraz kąt między ścianami bocznymi [tex]2\alpha[/tex].

 

Na powyższym obrazku odcinek [tex]BE[/tex] oraz [tex]DE[/tex] są prostopadłe do krawędzi [tex]CS[/tex]. Ponieważ podstawą ostrosłupa jest kwadrat, to przekątna podstawy ma długość [tex]a\sqrt{2}[/tex]. Pozostaje nam do obliczenia wysokość ostrosłupa. Skorzystamy z podobieństwa trójkątów. Spójrz na poniższy rysunek:

 

Trójkąt [tex]OSC[/tex]  jest podobny do trójkąta [tex]OEC[/tex], ponieważ mają takie same kąty. Zauważ, że oba trójkąty mają kąty proste oraz wspólny kąt przy wierzchołku [tex]C[/tex]. Prawdziwa jest zatem proporcja:

[tex]\cfrac{|CE|}{|EO|}=\cfrac{|OC|}{|OS|}[/tex]

Odcinek [tex]|OC|[/tex] jest to połowa długości przekątnej, dlatego ma długość

[tex]|OC|=\cfrac{a\sqrt{2}}{2}[/tex].

Wprowadzimy oznaczenia:

[tex]H=|OS|[/tex]

[tex]h=|OE|[/tex]

[tex]x=|CE|[/tex]

Przy tych oznaczeniach proporcja wygląda następująco:

[tex]\cfrac{x}{h}=\cfrac{\cfrac{a\sqrt{2}}{2}}{H}[/tex]

Teraz przejdziemy do wyznaczenia długości poszczególnych odcinków w tej proporcji, aby móc wyznaczyć wysokość ostrosłupa.

Weźmy pod uwagę trójkąt [tex]OBE[/tex]:

Odcinek [tex]OB[/tex] to połowa długości przekątnej, dlatego ma dlugość

[tex]|OB|=\cfrac{a\sqrt{2}}{2}[/tex].

Obliczamy [tex]h[/tex]:

[tex]\tan\alpha=\cfrac{\cfrac{a\sqrt{2}}{2}}{h}[/tex]

 

[tex]h=\cfrac{a\sqrt{2}}{2\tan\alpha}[/tex]

Rozważmy drugi trójkąt [tex]OCE[/tex]:

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do tego trójkąta, obliczymy długość odcinka [tex]|CE|[/tex]:

[tex]h^2+x^2=(\cfrac{a\sqrt{2}}{2})^2[/tex]

[tex]h^2+x^2=\cfrac{2a^2}{4}[/tex]

[tex]x^2=\cfrac{a^2}{2}-h^2[/tex]

[tex]x^2=\cfrac{a^2}{2}-(\cfrac{a\sqrt{2}}{2\tan\alpha})^2=\cfrac{a^2}{2}-\cfrac{a^2 \cdot 2}{4\tan^2\alpha}=\cfrac{a^2}{2}-\cfrac{a^2 }{2\tan^2\alpha}=a^2(\cfrac{\tan^2\alpha-1}{2\tan^2\alpha})[/tex]

[tex]x=\sqrt{a^2(\cfrac{\tan^2\alpha-1}{2\tan^2\alpha})}=\cfrac{a}{\tan\alpha}\sqrt{\cfrac{\tan^2\alpha-1}{2}}[/tex]

Wyznaczyliśmy długości wszystkich potrzebnych odcinków, wracamy do proporcji:

[tex]\cfrac{x}{h}=\cfrac{\cfrac{a\sqrt{2}}{2}}{H}[/tex]

[tex]H=\cfrac{ah\sqrt{2}}{2x}[/tex]

Obliczamy długość wysokości:

[tex]H=\cfrac{a\cdot \cfrac{a\sqrt{2}}{2\tan\alpha} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot \cfrac{a}{\tan\alpha} \sqrt{\cfrac{\tan^2\alpha-1}{2}} }=\cfrac{a}{\sqrt{2(\tan^2\alpha-1)}}[/tex]

Znamy już wysokość ostrosłupa, możemy obliczyć pole przekroju:

[tex]P=\cfrac{1}{2}\cdot |BD| \cdot H=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \cfrac{a}{\sqrt{2(\tan^2\alpha-1)}}=\cfrac{a^2}{4\sqrt{\tan^2\alpha-1}}[/tex]

 

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Geometria w przestrzeni (Stereometria) » #316

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt między przeciwległymi ścianami bocznymi tego ostrosłupa wynosi [tex]60^{\circ}[/tex]. Oblicz objętość tego ostrosłupa i pole powierzchni bocznej jeżeli krawędź podstawy ma długość [tex]\sqrt{6} [/tex].

---