Przekroje graniastosłupów.

Różne przekroje graniastosłupów.

Poniżej kilka przykÅ‚adów przekrojów graniastosÅ‚upów pÅ‚aszczyznÄ…:

• Przekrój szeÅ›cianu pÅ‚aszczyznÄ… przechodzÄ…cÄ… przez przekÄ…tnÄ… podstawy i przekÄ…tnÄ… Å›ciany bocznej.

• Przekrój szeÅ›cianu pÅ‚aszczyznÄ… zawierajÄ…cÄ… jego przekÄ…tnÄ….

 

• Przekrój prostopadÅ‚oÅ›cianu pÅ‚aszczyznÄ… przechodzÄ…cÄ… przez krawÄ™dź podstawy i Å›rodki przeciwlegÅ‚ych krawÄ™dzi bocznych.

 

• Przekrój graniastosÅ‚upa trójkÄ…tnego pÅ‚aszczyznÄ… przechodzÄ…cÄ… przez krawÄ™dź podstawy i Å›rodki dwóch krawÄ™dzi przeciwlegÅ‚ej podstawy.

 

Rysunek pomocniczy:

Objętość graniastosłupa:

[tex]V=P_p \cdot H[/tex]

Aby obliczyć objętość graniastosłupa, musimy znać jego pole podstawy oraz wysokość.

Ponieważ podstawą graniastosłupa jest kwadrat o boku długości [tex]a[/tex], to pole podstawy wynosi

[tex]P_p=a^2[/tex].

Aby obliczyć wysokość zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkÄ…ta [tex]ABB'[/tex]:

 [tex]a^2+H^2=x^2[/tex]

[tex]H=\sqrt{x^2-a^2}[/tex]

Nie wiemy jakÄ… dÅ‚ugość ma przekÄ…tna Å›ciany bocznej [tex]x[/tex], ale obliczymy jej dÅ‚ugość korzystajÄ…c z twierdzenia Cosinusów, zastosowanego do trójkÄ…ta [tex]AB'D'[/tex].

Długość przekątnej podstawy [tex]B'D'[/tex] wynosi:

[tex]|B'D'|=a\sqrt{2}[/tex]

ponieważ jest to przekÄ…tna kwadratu. Otrzymujemy zależność:

[tex](a\sqrt{2})^2=x^2+x^2-2x^2\cos\alpha[/tex]

Obliczamy [tex]x^2[/tex]:

[tex]2a^2=2x^2(1-\cos\alpha)[/tex]

[tex]a^2=x^2(1-\cos\alpha)[/tex]

[tex]x^2=\cfrac{a^2}{1-\cos\alpha}[/tex]

Wracamy do obliczenia wysokości graniastosłupa:

[tex]H=\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{\cfrac{a^2}{1-\cos\alpha}-a^2}=\sqrt{\cfrac{a^2-a^2(1-\cos\alpha)}{1-\cos\alpha}}=[/tex]

[tex]=\sqrt{\cfrac{a^2(1-1+\cos\alpha)}{1-\cos\alpha}}=a\sqrt{\cfrac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}[/tex]

 Obliczamy objÄ™tość graniastosÅ‚upa:

[tex]V=P_p \cdot H=a^2\cdot a\sqrt{\cfrac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=a^3\sqrt{\cfrac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}[/tex]

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Geometria w przestrzeni (Stereometria) » #303

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym, kąt nachylenia dłuższej przekątnej do płaszczyzny podstawy wynosi [tex]45^{\circ}[/tex]. Wysokość tego graniastosłupa wynosi [tex]6[/tex]. Oblicz długość krawędzi podstawy.

---