Graniastosłup

Spis treści

1. Graniastosłup i jego rodzaje.
2. Przekątna, kąty, pole i objętość graniastosłupa.

Graniastosłup i jego rodzaje.

Inaczej mówiąc jest to najkrótszy odcinek między płaszczyznami podstaw.

Rodzaje graniastosłupów.

Graniastosłupem prostym nazywamy graniastosłup, którego ściany boczne są prostokątami i są prostopadłe do podstaw.

Graniastosłupem prawidłowym (foremnym) nazywamy taki graniastosłup prosty, którego postawami są wielokąty foremne.

Długość wysokości graniastosłupa prawidłowego, jest równa długości jego krawędzi bocznej.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny  (podstawami są kwadraty)

Graniastosłup prawidłowy pięciokątny (podstawami są pięciokąty foremne)

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny (podstawami są sześciokąty foremne)

Przekątna, kąty, pole i objętość graniastosłupa.

Przekątne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego:

Kąty w graniastosłupie

Kąty w graniastosłupie omówimy na przykładzie prostopadłościanu.

• Kąt nachylenia przekątnej do podstawy

• Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi podstawy

• Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi bocznej

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa obliczamy sumując powierzchnię wszystkich jego ścian bocznych.

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa to suma pola powierzchni bocznej oraz pól podstaw.

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa obliczamy jako iloczyn pola podstawy oraz wysokości graniastosłupa.

Najpierw najlepiej wykonać rysunek pomocniczy i zaznaczyć na nim wszystkie dane z zadania.

Z danych zadania wiemy, że:

[tex]d=10[/tex]

Podstawą jest kwadrat ( bo graniastosłup jest prawidłowy czworokątny).

Ponieważ suma miar kątów w trójkącie to [tex]180^{\circ}[/tex] to zaznaczony czerwonym kolorem trójkąt jest połową trójkąta równobocznego.

 Mając dane [tex]d=10[/tex] możemy obliczyć pozostałe boki zaznaczonego trójkąta.

[tex]a\sqrt{2}=\cfrac{d}{2}[/tex]

[tex]H=\cfrac{d\sqrt{3}}{2}[/tex]

Zatem:

[tex]a\sqrt{2}=\cfrac{10}{2}=5[/tex]

[tex]a=\cfrac{5}{\sqrt{2}}[/tex]

[tex]H=\cfrac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}[/tex]

 Teraz znamy już wszystkie wymiary graniastosłupa, zatem możemy obliczyć jego objętość. Ponieważ podstawą danego graniastosłupa jest kwadrat, to pole podstawy wynosi:

[tex]P_p=a^2=\left(\cfrac{5}{\sqrt{2}}\right)^2=\cfrac{25}{2}[/tex]

Obliczamy objętość:

[tex]V=P_p \cdot H=\cfrac{25}{2} \cdot 5\sqrt{3}=\cfrac{125}{2\sqrt{3}}=\cfrac{125\sqrt{3}}{6}[/tex]

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym, kąt nachylenia dłuższej przekątnej do płaszczyzny podstawy wynosi [tex]45^{\circ}[/tex]. Wysokość tego graniastosłupa wynosi [tex]6[/tex]. Oblicz długość krawędzi podstawy.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym, przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem [tex]60^{\circ}[/tex]. Krawędź podstawy ma długość [tex]5\ cm[/tex]. Oblicz objętość tego graniastosłupa.