Jesteś w: Matematyka
»
Tablice matematyczne
»
Liceum
»
Geometria w przestrzeni (...
»
Prostopadłościan

Prostopadłościan

Podstawowe informacje o prostopadłościanie.

Prostopadłościan to graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami, oraz wszystkie ściany boczne są prostopadłe do podstaw.

Wzór: Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{P=2(ab+bc+ac)}$

Wzór: Objętość prostopadłościanu

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{V=a\cdot b\cdot c}$

Przekątna prostopadłościanu:

Przykład 1

Dany jest prostopadłościan o wymiarach $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{3 \times 4 \times 5}$ . Oblicz:

a) pole powierzchni bocznej

b) objętość

c) długość przekątnej

Rysunek pomocniczy do zadania:

a) Mamy obliczyć pole powierzchni bocznej prostopadłościanu, zatem nie wliczamy do tego pól podstaw. Ściany boczne to cztery prostokąty. Dwie ściany boczne to prostokąty o wymiarach $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{3 \times 5}$ , a pozostałe dwie to prostokąty o wymiarach $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{4 \times 5}$ . Zatem pole powierzchni bocznej wynosi:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{P_b=2\cdot 3 \cdot 5+2\cdot4\cdot5=70}$

b) Objętość prostopadłościanu to:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{V=3\cdot 4\cdot 5=60}$

b) Aby obliczyć długość przekątnej prostopadłościanu ( $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{d}$ ), najpierw obliczymy długość przekątnej podstawy ( $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{d_p}$ ) :

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{d_p^2=3^2+4^2}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{d_p^2=9+16=25}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{d_p=5}$

Zatem trójkąt prostokątny zaznaczony na rysunku jest połową kwadratu. Długości przyprostokątnych są tej samej długości ( $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{5}$ ). Zatem przekątna prostopadłościanu ( $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{d}$ ) jest przekątną kwadratu o boku długości $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{5}$ . Czyli:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{d=5\sqrt{2}}$

UWAGA!

Przekątna kwadratu o boku długości $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a}$ ma długość $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a\sqrt{2}}$ .

Do góry

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

Zadania do przećwiczenia (3):

Liceum » Geometria w przestrzeni (Stereometria) » #305

Dany jest prostopadłościan ( jak na rysunku). Oblicz objętość tego prostopadłościanu jeżeli wiadomo, że $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{\alpha=30^{\circ},\ \beta=60^{\circ}}$ i $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a= \sqrt{3}}$ .

Zobacz rozwiązanie

Podobne (3)

Liceum » Geometria w przestrzeni (Stereometria) » #907

Jeżeli $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{\alpha=30^{\circ}}$ oraz $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a=1 }$ to wysokość tego prostopadłościanu wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Podobne (1)

Liceum » Geometria w przestrzeni (Stereometria) » #169

Dany jest prostopadłościan o wymiarach $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{3 \times 4\times 5}$ . Oblicz kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy.