Spis treści
Permutacje.
Dany mamy zbiór [tex]A=\{a_1,a_2,...,a_n\}[/tex], [tex]n[/tex] - elementowy ([tex]n\geq 1[/tex]). Permutacją (bez powtórzeń) zbioru [tex]A[/tex], nazywamy każdy [tex]n[/tex] wyrazowy ciąg utworzony z elementów zbioru [tex]A[/tex] (każde uporządkowanie elementów tego zbioru).
W urnie mamy kule ponumerowane od [tex]1[/tex] do [tex]5[/tex].
Jeżeli wyjmiemy z urny wszystkie kule i ułożymy je w rzędzie, to otrzymamy ich permutację.
Możemy się teraz zastanowić, ile jest wszystkich możliwych permutacji zbioru [tex]n[/tex]-elementowego. Czyli na ile sposobów możemy te [tex]n[/tex] elementów ułożyć w ciąg. Do obliczania liczby permutacji służy następujący wzór:
Liczba permutacji (bez powtórzeń) zbioru [tex]n[/tex]- elementowego jest równa
[tex]P_n=n![/tex].
Dany jest zbiór [tex]A=\{3,4,9\}[/tex]. Oblicz ile jest wszystkich permutacji tego zbioru.
Zbiór [tex]A[/tex] ma trzy elementy, dlatego
[tex]P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3=6[/tex].
Jeżeli mamy zbiór złożony z trzech elementów, to te elementy możemy poukładać na [tex]6[/tex] sposobów w różnej kolejności. W tym wypadku mamy do poukładania trzy liczby: [tex]3,\ 4,\ 9[/tex]. Zatem, możliwe ułożenia tych liczb to:
[tex]3,\ 4,\ 9[/tex]
[tex]3,\ 9,\ 4[/tex]
[tex]4,\ 3,\ 9[/tex]
[tex]4,\ 9,\ 3[/tex]
[tex]9,\ 3,\ 4[/tex]
[tex]9,\ 4,\ 3[/tex]
-
Oceń poprawność zdań.
-
Liczba permutacji zbioru $A=\{a,b,c,d\}$ wynosi $24$.
-
Liczba permutacji zbioru $B=\{1,3,4,6\}$ wynosi $72$.
-
Permutacją zbioru $A=\{1,2,3,6,8\}$ jest ciąg $(1,2,3,6)$.
Kombinacje.
Dany jest zbiór [tex]A=\{a_1,a_2,...,a_n\}[/tex], [tex]n[/tex]-elementowy . Kombinajcją (bez powtórzeń) [tex]k[/tex]-elementową ([tex]k\leq n[/tex]) nazywamy każdy [tex]k[/tex]-elementowy podzbiór zbioru [tex]A[/tex].
Rozważmy jeszcze raz nasze kule w urnie ponumerowane od [tex]1[/tex] do [tex]5[/tex], które tworzą pewien zbiór [tex]5[/tex]-elementowy. Jeżeli z tej urny wybierzemy dwie kule, to otrzymamy kombinację [tex]2[/tex]-elementową tego zbioru. Nie jest tutaj ważna kolejność tych kul. Kombinację tworzy podzbiór, a nie ciąg elementów.
Dany jest zbiór [tex]X=\{a,b,c\}[/tex]. Wypisz wszystkie [tex]2[/tex]-elementowe kombinacje tego zbioru.
Wybieramy wszystkie [tex]2[/tex]-elementowe podzbiory zbioru [tex]X[/tex]:
[tex]\{a,b\}[/tex]
[tex]\{b,c\}[/tex]
[tex]\{a,c\}[/tex]
W kombinacjach kolejność elementów nie jest ważna!
[tex]\{a,b\}\equiv \{b,a\}[/tex]
Możemy obliczać liczbę możliwych kombinacji zbioru.
Liczba wszystkich kombinacji (bez powtórzeń) [tex]k[/tex]-elementowych zbioru [tex]n[/tex]-elementowego jest równa
[tex]C^k_n=\binom{n}{k}=\cfrac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]
Ile jest wszystkich podzbiorów [tex]3[/tex]-elementowych zbioru [tex]6[/tex]-elementowego?
Obliczamy ilość podzbiorów:
[tex]C^3_6=\binom{6}{3}=\cfrac{6!}{3!(6-3)!}=\cfrac{6!}{3!3!}=\cfrac{4\cdot 5\cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}=20[/tex]
-
Dany jest zbiór $X=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ Oceń poprawność zdań.
-
Jest $42 $ podzbiory $3$-elementowe zbioru $X$.
-
Jest $35$ podzbiorów $4 $-elementowych zbioru $X$.
-
Jest $21$ podzbiorów $5$-elementowych zbioru $X$.
Wariacje.
Wariacją [tex]k[/tex]-elementową bez powtórzeń zbioru [tex]n[/tex]-elementowego ([tex]k\leq n[/tex]), nazywamy każdy [tex]k[/tex] elementowy ciąg utworzony z różnych elementów tego zbioru.
Jeszcze raz powracamy do przykładu z pięcioma kulami w urnie. Jeżeli z tej urny wybierzemy trzy kule i ułożymy je w pewnej kolejności, to otrzymamy wariację [tex]3[/tex]-elementową bez powtórzeń zbioru [tex]5[/tex]-elementowego.
Wypisz wszystkie [tex]2[/tex]-elementowe wariacje bez powtórzeń zbioru [tex]X=\{a,b,c\}[/tex].
Wypisujemy wszystkie [tex]2[/tex]-elementowe ciągi składające się z różnych elementów zbioru [tex]X[/tex]. Tutaj kolejność elementów jest ważna!
[tex](a,b)[/tex]
[tex](a,c)[/tex]
[tex](b,a)[/tex]
[tex](b,c)[/tex]
[tex](c,a)[/tex]
[tex](c,b)[/tex]
Liczbę wariacji [tex]k[/tex]-elementowych bez powtórzeń zbioru [tex]n[/tex]-elementowego obliczamy według wzoru:
[tex]V^k_n=\cfrac{n!}{(n-k)!}[/tex]
Oblicz ile jest wszystkich [tex]2[/tex]-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru [tex]X=\{a,b,c,d\}[/tex].
Zbiór [tex]X[/tex] ma [tex] 4[/tex] elementy. Zgodnie ze wzorem obliczamy:
[tex]V^2_4=\cfrac{4!}{(4-2)!}=\cfrac{4!}{2!}=12[/tex]
Wariacją [tex]k[/tex]-elementową z powtórzeniami zbioru [tex]n[/tex]-elementowego ([tex]k\leq n[/tex]), nazywamy każdy [tex]k[/tex] wyrazowy ciąg utworzony z elementów tego zbioru.
Z urny gdzie znajduje się pięć ponumerowanych kul losujemy kolejno kule ze zwracaniem. Po każdym losowaniu zapisujemy wyniki, w kolejności losowania.
Ten ciąg wylosowanych kul, tzn.
jest wariacją z powtórzeniami zbioru kul.
Wypisz wszystkie [tex]2[/tex]-elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru [tex]X=\{a,b,c\}[/tex].
Wypisujemy wszystkie [tex]2[/tex]-elementowe ciągi składające się z elementów zbioru [tex]X[/tex] (elementy mogą się powtarzać). Kolejność elementów jest ważna!
[tex](a,b)[/tex]
[tex](a,c)[/tex]
[tex](b,a)[/tex]
[tex](b,c)[/tex]
[tex](c,a)[/tex]
[tex](c,b)[/tex]
Oprócz tych ciągów, które wypisaliśmy w wariacjach bez powtórzeń, dodajemy te ciągi w których elementy się powtarzają. Tzn.:
[tex](a,a)[/tex]
[tex](b,b)[/tex]
[tex](c,c)[/tex]
Liczbę wariacji [tex]k[/tex]-elementowych z powtórzeniami zbioru [tex]n[/tex]-elementowego obliczamy według wzoru:
[tex]\bar{V}^k_n=n^k[/tex]
Oblicz ile jest wszystkich [tex]2[/tex]-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru [tex]X=\{a,b,c,d\}[/tex].
[tex]\bar{V}^2_4=4^2=16[/tex]
-
Dany jest zbiór $X=\{1,3,5,7\}$. Oceń poprawność zdań.
-
Liczba wariacji $3$-elementowych z powórzeniami zbioru $X$ wynosi $81$
-
Liczba wariacji $4 $-elementowych z powórzeniami zbioru $X$ wynosi $256$
-
Liczba wariacji $4 $-elementowych bez powórzeniami zbioru $X$ jest równa ilości permutacji tego zbioru.
Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski.
Dzięki :)
Komentarze (0
):
Logowanie Aby dodać komentarz musisz się zalogować.
Nie masz
jeszcze konta?
Załóż darmowe konto w 30 sekund.
Rejestracja
Nie pamiętasz hasła?