Zasada mnożenia

1

Przykłady wykorzystania zasady mnożenia.

Twierdzenie: O mnożeniu

Liczba możliwych różnych ciągów [tex](x_1, x_2, ..., x_n)[/tex] takich, że element [tex]x_i  \quad  i =1, 2, ..., k [/tex] można wybrać na [tex]n_i[/tex] sposobów jest równa

[tex]n_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k[/tex]

Powyższe twierdzenie zwane jest także zasadą  mnożenia.

 

Przykład 1

Niech [tex]A=\{1,2,3,4\}[/tex]  oraz  [tex]B=\{5,6,7,8\}[/tex]. Ile liczb dwucyfrowych można otrzymać, losując cyfrę dziesiątek ze zbioru [tex]A[/tex] natomiast cyfrę jedności ze zbioru [tex]B[/tex] ?

Zgodnie z zasadą mnożenia jest to:

[tex]4 \cdot 4 = 16[/tex]

Mamy $4$ możliwe cyfry do wybrania ze zbioru A oraz $4$ ze zbioru B.

Przykład 2

Ile jest liczb trzycyfrowych?

Oznaczmy kolejne cyfry liczby trzycyfrowej

[tex](x_1, x_2, x_3)[/tex]

Skoro jest to liczba trzycyfrowa, to  pierwsza cyfra nie może być zerem. Czyli [tex]x_1[/tex]  jest jedną z liczb ze zbioru:

[tex]x_1 \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}[/tex]

Cyfra dziesiątek i jednostek są jedną z liczb ze zbioru:

[tex]x_2, x_3 \in \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}[/tex]

Ilości elementów kolejnych zbiorów to

[tex]n_1 = 9[/tex]

[tex]n_2 = n_3 = 10[/tex]

Zatem ilość liczb trzycyfrowych znajdziemy korzystając z zasady mnożenia:

[tex]9 \cdot 10 \cdot 10 = 900[/tex]

Wszystkich liczb trzycyfrowych jest [tex] 900 [/tex].

 

Przykład 3

Ile jest liczb maksymalnie [tex]4[/tex] cyfrowych, które są podzielne przez [tex] 5 [/tex]?

 

Aby, liczba była podzielna przez [tex] 5 [/tex] , to na miejscu jedności musi znajdować się [tex] 0 [/tex] lub [tex] 5 [/tex].

Oznaczmy kolejne cyfry liczby [tex] 4 [/tex] cyfrowej

 

[tex](x_1, x_2, x_3, x_4)[/tex]

Ponieważ liczba musi być podzielna przez [tex] 5 [/tex], to ostatnia cyfra jest $0$ lub $5$, czyli:

[tex]x_4 \in \{ 0, 5 \}[/tex]

Ponieważ liczba może zawierać mniej cyfr, niż $4$ ( czyli może to być liczba trzycyfrowa, dwucyfrowa lub jednocyfrowa), więc  uwzględniamy zero:

[tex]x_1, x_2, x_3 \in \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}[/tex].

Ilości elementów kolejnych zbiorów to

[tex]n_4 = 2[/tex]

[tex]n_1 = n_2 = n_3 = 10[/tex]

Ilość liczb znajdziemy z zasady mnożenia:

[tex]10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 2 = 2000[/tex]

Wszystkich liczb maksymalnie [tex] 4 [/tex] cyfrowych podzielnych przez [tex] 5 [/tex] jest [tex] 2000 [/tex].

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej
Liczb trzycyfrowych podzielnych przez $ 10 $ jest
Liczb czterocyfrowych złożonych tylko z cyfr $ 4, 7, 9 $ jest
$ 90 $
$ 81 $


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (2):

Liceum » Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa » #230
0

Ile jest takich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, których druga i czwarta cyfra jest parzysta,a pozostałe trzy nieparzyste?

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (3)
Liceum » Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa » #223
0

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry i po każdym rzucie zapisujemy liczbę wyrzuconych oczek

a) Ile jest wszystkich możliwych wyników?

b) Ile jest wszystkich wyników, w których w pierwszym rzucie otrzymamy liczbę parzystą, a w drugim liczbę nieparzystą?

c) Ile jest wszystkich wyników, w których liczba wyrzuconych oczek w jednym z rzutów będzie parzysta, a w drugim nieparzysta?

d) Ile jest wszystkich wyników takich, że suma wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą?

P
D
Zobacz rozwiązanie
Podobne (4)

Komentarze (
1
):

  • Monika910310_20120315100942_thumb monika910310 pisze:
    06.05.2012 17:15 i 32 sekund

    Jak to możliwe, że pierwsza liczbą może być zero? Chodzi mi o przykład 3. Wydaje mi się, że mogą to być tylko liczby 1,2,3,4,5,6,7,8,9, a reszta może zawierać jeszcze dodatkowo zero...

Do góry