Jesteś w: Matematyka
»
Tablice matematyczne
»
Liceum
»
Kombinatoryka i rachunek ...
»
Definicja prawdopodobień...

Definicja prawdopodobieństwa i jego własności.

Spis treści

Definicje wprowadzające do prawdopodobieństwa.
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa.
Własności prawdopodobieństwa

Definicje wprowadzające do prawdopodobieństwa.

Zdarzenie elementarne [tex]\omega[/tex] to pojęcie pierwotne w teorii prawdopodobieństwa - nie definiuje się.

Przykład 1

Zdarzeniem elementarnym jest wylosowanie [tex] 5 [/tex] -ciu oczek podczas rzutu kostką.

Zdarzeniem elementarnym jest wypadnięcie orła podczas rzutu monetą.

Definicja: Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych [tex]\omega[/tex] nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy [tex]\Omega[/tex].

Innymi słowy, przestrzeń zdarzeń elementarnych to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych jakie mogą wystąpić podczas doświadczenia losowego (rzut kostką, rzut monetą).

Przykład 2

Przestrzenią zdarzeń elementarnych w przypadku rzutu kostką, jest zbiór sytuacji (zdarzeń elementarnych) składających się na wylosowanie jednego, dwóch, trzech, czterech, pięciu lub sześciu oczek.

Przestrzenią zdarzeń elementarnych będzie w tym przypadku:

[tex]\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}[/tex],

gdzie każda cyfra oznacza liczbę oczek jaka wypadła na kosctce podczas rzutu.

Przykład 3

Przestrzenią zdarzeń elementarnych w przypadku rzutu monetą jest zbiór sytuacji (zdarzeń elementarnych) składających się na wylosowanie orła, albo reszki.

Przestrzenią zdarzeń elementarnych będzie w tym przypadku:

[tex]\Omega = \{ O, R\}[/tex]

gdzie

[tex]O[/tex] to zdarzenie polegające na wyrzuceniu orła

[tex]R[/tex] to zdarzenie polegające na wyrzuceniu reszki

Definicja: Zdarzenie losowe

Każdy podzbiór [tex]A[/tex] przestrzeni zdarzeń elementarnych [tex]\Omega[/tex] nazywamy zdarzeniem losowym (zdarzeniem).

[tex]A \subset \Omega[/tex]

Zdarzenia oznaczamy literami [tex]A, B, C, ...[/tex] lub [tex]A_1, A_2, A_3, ....[/tex].

Mówimy także, że zdarzenie elementarne [tex]\omega \in A[/tex] sprzyja zdarzeniu [tex] A [/tex].

Przykład 4

W rzucie kostką niech zdarzeniem elementarnym [tex]\omega[/tex] będzie ilość wyrzuconych oczek. Zatem [tex]\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}[/tex]. Przykładowym zdarzeniem losowym może być

[tex]A = \{ 1, 5 \}[/tex]

czyli zdarzenie polegające na wylosowaniu jedynki lub piątki. Innym przykładowym zdarzeniem może być

[tex]B = \{ 3, 4, 5 \}[/tex]

polegające na wyrzucenie trójki, czwórki lub piątki.

Definicja: Zdarzenie pewne.

Zdarzenie [tex]A = \Omega[/tex] nazywamy zdarzeniem pewnym.

Przykład 5

W rzucie monetą [tex]\Omega = \{ orzel, reszka \}[/tex]. Zdarzenie [tex]A = \{ orzel, reszka \}[/tex] jest zdarzeniem pewnym ponieważ podczas rzutu z całą pewnością wylosujemy orła albo reszkę.

Definicja: Zdarzenie niemożliwe.

Zdarzenie [tex]A = \phi[/tex] nazywamy zdarzeniem niemożliwym.

Przykład 6

W rzucie monetą [tex]\Omega = \{ orzel, reszka \}[/tex]. Zdarzenie [tex]A = \phi[/tex] jest zdarzeniem niemożliwym ponieważ podczas rzutu z całą pewnością wylosujemy orła albo reszkę.

Do góry

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa.

Definicja: Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa.

Niech [tex]\Omega[/tex] będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych.
Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję, która każdemu zdarzeniu [tex]A[/tex] ([tex]A \subset \Omega[/tex]) przyporządkowuje liczbę [tex]P(A)[/tex], spełniającą następujące warunki (aksjomaty):

A1. [tex]P(A) \geq 0[/tex]
prawdopodobieństwo jest liczbą nieujemną
A2. [tex]P(\Omega) = 1[/tex]
prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe [tex] 1 [/tex]
A3. Jeżeli [tex]A \cap B = \phi[/tex], to [tex]P(A \cup B) = P(A) + P(B)[/tex]
prawdopodobieństwo sumy wykluczających się zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń

Innymi słowy prawdopodobieństwo określa liczbowo szansę wystąpienia danego zdarzenia podczas eksperymentu (losowania).

UWAGA!

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, którą wykorzystasz w zadaniach jest poruszona w osobnej nauce.

Do góry

Własności prawdopodobieństwa

Załóżmy, że [tex]\Omega[/tex] jest przestrzenią zdarzeń elementarnych i [tex]A, B \subset \Omega[/tex]. Wówczas:

[tex]P(\phi)=0[/tex]
[tex]P(\Omega)=1[/tex]
[tex]0 \leq P(A) \leq 1[/tex]
[tex]P(A \cup B) \leq P(A) + P(B)[/tex]
[tex]P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)[/tex]
Jeżeli [tex]A \subset B[/tex] to [tex]P(A) \leq P(B)[/tex]

Prawdopodobieństwo zajścia jakiegoś zdarzenia jest liczbą z przedziału [tex][0, 1][/tex]. Przy czym prawdopodobieństwo [tex]0[/tex] oznacza, że jest to zdarzenie niemożliwe. Prawdopodobieństwo [tex]1[/tex] oznacza, że zdarzenie jest pewne (zawsze zachodzi).

Do góry

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)