Funkcja logarytmiczna.

3

Funkcja logarytmiczna.

Przypomnienie:

Definicja: Logarytm

Załóżmy, że  [tex]a \in \mathbb{R}^+\setminus \{1\}[/tex] i [tex]b \in \mathbb{R}^+[/tex].

Logarytmem o podstawie [tex]a[/tex] z liczby [tex]b[/tex] nazywamy taką liczbę [tex]c[/tex], że [tex]a[/tex] podniesione do potęgi [tex]c[/tex] jest równe [tex]b[/tex], tzn:

[tex]\log_{a}b=c \Leftrightarrow  a^c=b[/tex]

 

Definicja: Funkcja logarytmiczna

Funkcję [tex]f[/tex] określoną wzorem

[tex]f(x)=\log_{a}x[/tex],

gdzie

[tex]a \in \mathbb{R}^+\setminus \{1\}[/tex],

[tex]x \in \mathbb{R}^+[/tex]

nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie [tex]a[/tex].

 

Własnośći funkcji logarytmicznej:

  • Dziedzina: [tex](0,+\infty) [/tex].
  • Zbiór wartości: [tex]\mathbb{R}[/tex].
  • Miejsce zerowe to zawsze [tex]x=1[/tex], niezależnie od podstawy [tex]a[/tex].
  • Monotoniczność:

- gdy [tex]a>1[/tex], to funkcja logarytmiczna jest rosnąca

 

- gdy [tex]0<a<1[/tex], to funkcja logarytmiczna jest malejąca

 


Sporządzanie wykresu funkcji logarytmicznej:

Przykład 1

Naszkicujemy wykres funkcji [tex]f(x)=\log_{2}x[/tex].

Zaczynamy od wyznaczenia kilku punktów, które należą do wykresu tej funkcji. Ponieważ  podstawą funkcji, którą mamy narysować jest liczba [tex]2[/tex], to szukamy wartości funkcji dla argumentów będących potęgami liczby [tex]2[/tex] (abyśmy mogli policzyć wartość funkcji w tym punkcie).

[tex]x=2[/tex],

[tex]f(2)=\log_{2}2=1[/tex]

Otrzymaliśmy pierwszy punkt:

[tex]P_1=(2,1)[/tex]

Wyznaczamy kolejne:

[tex]x=4[/tex],

[tex]f(4)=\log_{2}4=2[/tex]

[tex]P_2=(4,2)[/tex]

[tex]x=8[/tex],

[tex]f(8)=\log_{2}8=3[/tex]

[tex]P_3=(8,3)[/tex]

[tex]x=16[/tex],

[tex]f(16)=\log_{2}16=4[/tex]

[tex]P_4=(16,4)[/tex]

Zaznaczamy wyznaczone punkcie w układzie współrzędnych i rysujemy przybliżony wykres funkcji [tex]y=\log_{2}x[/tex]. Pamiętamy również, że zawsze miejscem zerowym funkcji logarytmicznej jest  [tex]x=1[/tex], czyli wykres funkcji przechodzi przez punkt [tex]P_0=(1,0)[/tex].


 

Przykład 2

Naszkicuj wykres funkcji [tex]f(x)=\log_{3}x[/tex].

Zaczynamy od wyznaczenia kilku punktów, które należą do wykresu tej funkcji. Ponieważ  podstawą funkcji, którą mamy narysować jest liczba [tex]3[/tex], to szukamy wartości funkcji dla argumentów będących potęgami liczby [tex]3[/tex] (abyśmy mogli łatwo policzyć wartość funkcji w tym punkcie).

[tex]Q_0=(1,0)[/tex].

[tex]x=3[/tex],

[tex]f(3)=\log_{3}3=1[/tex]

Otrzymaliśmy pierwszy punkt:

[tex]Q_1=(3,1)[/tex]

Wyznaczamy kolejne:

[tex]x=9[/tex],

[tex]f(9)=\log_{3}9=2[/tex]

[tex]Q_2=(9,2)[/tex]

[tex]x=27[/tex],

[tex]f(27)=\log_{3}27=3[/tex]

[tex]Q_3=(27,3)[/tex]

 

Tak jak poprzednio, zaznaczamy wyznaczone punkty w układzie współrzędnych i łączymy je linią.

 

Do góry


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Komentarze (
3
):

Do góry