Potęgi


Spis treści

  1. Potęgowanie
  2. Wykładnik potęgi.
  3. Działania na potęgach.

Potęgowanie

Niech .

Potęgowanie jest to działanie matematyczne wprowadzone po to, aby ułatwić zapis wielokrotnego mnożenia. Oznacza się je jako , gdzie jest ilością mnożonych przez siebie liczb . Czyli:

 

 

Definicja: Potęga

- n-ta potęga liczby ( do potęgi )

- wykładnik potęgi

- podstawa potęgi

- wynik potęgowania

Przykład:

- czytamy "trzy do potęgi drugiej lub trzy do kwadratu"

- czytamy "trzy do potęgi trzeciej lub trzy do sześcianu"

- czytamy "trzy do potęgi czwartej"

 

Potęgowanie jest operacją odwrotną do pierwiastkowania.

Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej

Wykładnik potęgi.

Definicja: Potęga o wykładniku naturalnym.

Jeżeli wykładnik potęgi jest liczbą naturalną, to

Każda liczba podniesiona do potęgi zerowej daje .

 

Każda liczba podniesiona do pierwszej potęgi to ta sama liczba.

 

 

-ta potęga liczby , to  krotny iloczyn  tej liczby przez siebie.

 

dla
Przykład:

 

 

Definicja: Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym.

Jeżeli wykładnik potegi jest liczbą całkowitą ujemną, to

dla

,

dla

Przykład:

Potęgowanie jest operacją odwrotną do pierwiastkowania. Oba te działania łączą się ze sobą. Można zatem potęgę zamieniać na pierwiastek i odwrotnie, pierwiastki zamieniać na potęgi. Aby to zrobić, posługujemy się następującymi wzorami:

Definicja: Potęga o wykładniku wymiernym dodatnim.

Jeżeli wykładnik potegi jest liczbą wymierną dodatnią, to

dla

Przykład:

Liczba podniesiona do potęgi , to poprostu pierwiastek kwadratowy z tej liczby:

Liczba podniesiona do potęgi , to pierwiastek sześcienny z tej liczby:

 Mianownik wykładnika potęgi, to zawsze stopień pierwiastka. Natomiast liczba znajdująca się w liczniku, to wykładnik liczby pod pierwiastkiem. Jak ponizej:

 

Definicja: Potęga o wykładniku wymiernym ujemnym.

Jeżeli wykładnik potegi jest liczbą wymierną ujemną, to

dla

Przykład:

Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej

Działania na potęgach.

Powyżej zdefiniowane zostały potęgi o różnych wykładnikach. Teraz zajmiemy się działaniami jakie można na tych potęgach wykonywać.

 

Jeżeli i to:

 

Wzór: Iloczyn potęg o tych samych podstawach.

 

Przykład:

Jeżeli mnożymy przez siebie potęgi, o tych samych podstawach, to ich wykładniki dodajemy. A dlaczego tak? Zobacz na przykładzie:

Zgodnie z definicją mnożymy liczbę , trzy razy przez siebie.

Zgodnie z definicją mnożymy liczbę , cztery razy przez siebie.

No a teraz, mamy przez siebie pomnożyć te potęgi. To w  rezultacie, ile razy przez siebie mnożymy ?

 

Teraz zajmiemy się ilorazem potęg o tych samych podstawach.

Wzór: Iloraz potęg o tych samych podstawach.

 

Przykład:

A teraz krótkie wyjaśnienie, dlaczego wykładniki odejmujemy.

Zgodnie z definicją mnożymy liczbę , trzy razy przez siebie.

Zgodnie z definicją mnożymy liczbę , cztery razy przez siebie.

Skracamy te same liczby powtarzające się w liczniku i mianowniku. W liczniku mamy dwójki, w mianowniku mamy dwójki. Czyli:

 

Wzór: Potęga iloczynu.

Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. Jeżeli potęgujemy iloczyn, to każdy składnik tego iloczynu podnosimy do tej samej potęgi.

Przykład:

 

Wzór: Potęga ilorazu

Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. Podnosząc ułamek do pewnej potęgi, zarówno licznik jak i mianownik podnosimy do tej samej potęgi.

Przykład:

 

 

Wzór: Potęga potęgi.

 

Przykład:

Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Pierwiastki

Zadania do przećwiczenia (3):

Liceum » Pierwiastki i potęgi » #429
17

Zapisz w postaci jednej potęgi.


P
K
Liceum » Pierwiastki i potęgi » #637
0

Liczba jest równa:


P
T
Liceum » Pierwiastki i potęgi » #427
5

Przedstaw w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.


P
K

Zobacz zadania z działu pierwiastki i potęgi(18)


Komentarze (
17
):

  • Gosia214_20111114132247_thumb gosia214 pisze:

    Ogółem rozumiem, ale np. nie potrafię rozwiązać takiego zadania: Obliczyć czwartą część liczby 2 do potęgi 100. Jak zrobić takie coś?

  • Użytkownik malgorzata jest redaktorem.
    Malgorzata_20120129080240_thumb malgorzata pisze:

    Daną mamy liczbę: . Jeżeli chcemy obliczyć jej czwartą część, tzn. że musimy podzielić tą liczbę na 4 części. Czyli:
    Aby móc dzielić potęgi, to musimy mieć takie same podstawy. Zamieniamy więc na potęgę o podstawie dwa:
    .
    Wtedy otrzymujemy:

    Jeżeli dzielimy potęgi, to ich wykładniki odejmujemy, dlatego:
    .

  • Balbi93_20111120164045_thumb balbi93 pisze:

    nie potrafię wykonać zadania 2 . dokładniej :
    2 do potęgi 5/3 * pierwiastek trzeciego stopnia z czterech do potęgi 2.
    Mianowicie, rozumiem potęgi, jednak wynik nie zgadza mi się z podanymi odpowiedziami. do wyboru są wyniki: 8, pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch, 6 do potęgi 10, pierwiastek 3 stopnia z 8.
    proszę o pomoc.

  • Użytkownik malgorzata jest redaktorem.
    Malgorzata_20120129080240_thumb malgorzata pisze:

    Rozwiązania zadań z kursu maturalnego są wysyłane kolejnego dnia.

  • Avatar_thumb stokrotka pisze:

    Mam pytanie odnośnie potęg.Jak odliczać potęge czegoś takiego : (4do potęgi2)do potęgi 3-za nawiasem-.? Czy potęgi 2i3 się mnoży?Był na to wzór,tylko nie mogę nigdzie znaleźć.

  • Avatar_thumb stokrotka pisze:

    I jeśli mam różne wykładniki i różne podstawy,to jak to się robi ? Np 2 do potęgi 3 * 3 do potęgi 4? Z góry dziękuję za wskazówki.

  • Avatar_thumb stokrotka pisze:

    Jak obliczać jeśli mamy w nawiasie ułamek i mamy do podnieść do potęgi też ułamka.Nie wiem jak to zrobić.

  • Użytkownik malgorzata jest redaktorem.
    Malgorzata_20120129080240_thumb malgorzata pisze:

    Rozumiem, że chodzi np o taki przypadek:



    ?



    Możemy to przekształcić np tak:






  • Avatar_thumb niusia154 pisze:

    jak obliczyc takie dzialanie (1/5) do potęgi minus 2^3?? takie zadania tez pojawiaja sie na maturze podstawowej??

  • Użytkownik malgorzata jest redaktorem.
  • 330paulina_20121031182022_thumb 330paulina pisze:

    Jak moge obliczyc pierwiastek pod pierwiastkiem?

  • \frac{a^-2*a^5}{|sqrt{a}}

  • Avatar_thumb kacper1 pisze:

    Przepraszam ja mam pytanie: Jak sprawdzić ile razy wieksza jest liczba 3 do potegi minus 14 od liczby 3 do potegi minus 12?
    Prosze o pomoc.

  • Avatar_thumb kacper1 pisze:

    Pani Małgorzato!:) Jak obliczyc ten przykład:?
    (1 i 3/4) do potegi 6 razy (2/7) do potegi 6?

  • Avatar_thumb TheLisek pisze:

    W zadaniach z tego tematu pojawiło się działanie 3^-3 (3 do minus trzeciej). Wychodzi mi ciągle 1/pierw.27 (jeden przez pierwiastek z 27) , podczas gdy tu pojawiła się odp. 1/27. Nie mogę się doszukać błędu, proszę o naprowadzenie.

  • Na wszystkie tu zadane pytania znam odpowiedzi:D
    Proszę pytać, chętnie pomogę.
    Np. możecie mi napisać prywatną wiadomość, na pewno odpowiem!:)

  • Cejus503_20131203140013_thumb cejus503 pisze:

    Co do zadania 5 z wysyłanych materiałów:

    (2^5 + 12^2 x 3^6) / (18 + 3^8)

    i jest rozwiązanie:

    (2^5 + 4^2 x 3^6) / ( 9 x (2+3^6))

    jak z tego pierwszego równania doszliście do 2giego?