Spis treści
Potęgowanie
Niech [tex]a,\ b \in \mathbb{R}[/tex].
Potęgowanie jest to działanie matematyczne wprowadzone po to, aby ułatwić zapis wielokrotnego mnożenia. Oznacza się je jako [tex]a^n[/tex], gdzie [tex]n[/tex] jest ilością mnożonych przez siebie liczb [tex]a[/tex]. Czyli:
[tex]a^n=\underset{n\ razy}{\underbrace{a\cdot a...\cdot a}}[/tex]
[tex]a^n = b[/tex]
[tex]a^n [/tex]- n-ta potęga liczby [tex]a[/tex]([tex]a[/tex] do potęgi [tex]n[/tex])
[tex]n[/tex] - wykładnik potęgi
[tex]a[/tex] - podstawa potęgi
[tex]b[/tex] - wynik potęgowania
[tex]3^2 = 3 \cdot 3 = 9 [/tex] - czytamy "trzy do potęgi drugiej lub trzy do kwadratu"
[tex]3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27 [/tex] - czytamy "trzy do potęgi trzeciej lub trzy do sześcianu"
[tex]3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \cdot 3 = 81 [/tex] - czytamy "trzy do potęgi czwartej"
Potęgowanie jest operacją odwrotną do pierwiastkowania.
Wykładnik potęgi.
Jeżeli wykładnik potęgi jest liczbą naturalną, to
[tex]a^0 = 1[/tex]
Każda liczba $a\neq 0$ podniesiona do potęgi zerowej daje [tex]1[/tex].
[tex]a^1 = a[/tex]
Każda liczba podniesiona do pierwszej potęgi to ta sama liczba.
[tex]a^n=\underbrace {a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n\ \ razy}[/tex]
[tex]n[/tex]-ta potęga liczby [tex]a[/tex], to [tex]n[/tex] krotny iloczyn tej liczby przez siebie.
dla [tex]a \in \mathbb{R} \wedge n \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]2^0 = 1[/tex]
[tex]6^1 = 6[/tex]
[tex]2^2 = 2 \cdot 2 = 4[/tex]
[tex]10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10= 1000[/tex]
Jeżeli wykładnik potegi jest liczbą całkowitą ujemną, to
[tex]a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}[/tex]
dla [tex]a \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \wedge n \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]\left( \cfrac{a}{b} \right)^{-n} = \left(\cfrac{b}{a}\right)^{n}[/tex],
dla [tex]a \cdot b \neq 0[/tex]
[tex]2^{-2} = \cfrac{1}{2^2} = \cfrac{1}{4}[/tex]
[tex]2^{-3} = \cfrac{1}{2^3} = \cfrac{1}{8}[/tex]
[tex]\left(\cfrac{4}{5}\right)^{-2} = \left(\cfrac{5}{4}\right)^{2} = \cfrac{5^2}{4^2}=\cfrac{25}{16}[/tex]
[tex]\left(\cfrac{1}{8}\right)^{-3} = 8^{3} =512 [/tex]
Potęgowanie jest operacją odwrotną do pierwiastkowania. Oba te działania łączą się ze sobą. Można zatem potęgę zamieniać na pierwiastek i odwrotnie, pierwiastki zamieniać na potęgi. Aby to zrobić, posługujemy się następującymi wzorami:
Jeżeli wykładnik potegi jest liczbą wymierną dodatnią, to
[tex]a^{\cfrac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}[/tex]
dla [tex]a \in \mathbb{R^{+}} \cup \{0\}, m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N} \backslash \{1\}[/tex]
Liczba [tex]2[/tex] podniesiona do potęgi [tex]\cfrac{1}{2}[/tex], to poprostu pierwiastek kwadratowy z tej liczby:
[tex]2^{\cfrac{1}{2}} = \sqrt[2]{2^1} = \sqrt{2}[/tex]
Liczba [tex]5[/tex] podniesiona do potęgi [tex]\cfrac{1}{3}[/tex], to pierwiastek sześcienny z tej liczby:
[tex]5^{\cfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{5}[/tex]
Mianownik wykładnika potęgi, to zawsze stopień pierwiastka. Natomiast liczba znajdująca się w liczniku, to wykładnik liczby pod pierwiastkiem. Jak ponizej:
[tex]3^{\cfrac{{\color{Blue} 2}}{{{\color{Red} 3}}}} = \sqrt[{\color{Red} 3}]{3^{\color{Blue} 2}} = \sqrt[3]{9}[/tex]
[tex]5^{ \cfrac{ {\color{Blue} 3} }{ {\color{Red}4} } } = \sqrt[{\color{Red} 4} ]{5^{ {\color{Blue} 3} } } = \sqrt[4]{125}[/tex]
Jeżeli wykładnik potegi jest liczbą wymierną ujemną, to
[tex]a^{-\cfrac{m}{n}} = \cfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}[/tex]
dla [tex]a \in \mathbb{R^{+}}, m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N} \backslash \{1\}[/tex]
[tex]2^{-\cfrac{1}{2}} = \cfrac{1}{\sqrt[2]{2^1}} = \cfrac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]3^{-\cfrac{2}{3}} = \cfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}} = \cfrac{1}{\sqrt[3]{9}}[/tex]
[tex]5^{-\cfrac{3}{4}} = \cfrac{1}{\sqrt[4]{5^3}} = \cfrac{1}{\sqrt[4]{125}}[/tex]
Działania na potęgach.
Powyżej zdefiniowane zostały potęgi o różnych wykładnikach. Teraz zajmiemy się działaniami jakie można na tych potęgach wykonywać.
Jeżeli [tex] m,n \in \mathbb{R}[/tex] i [tex]a,b \in \mathbb{R^{+}}[/tex] to:
[tex]a^m \cdot a^n = a^{m + n}[/tex]
Przykład:
Jeżeli mnożymy przez siebie potęgi, o tych samych podstawach, to ich wykładniki dodajemy. A dlaczego tak? Zobacz na przykładzie:
[tex]2^3=2\cdot 2\cdot 2[/tex] Zgodnie z definicją mnożymy liczbę $2$, trzy razy przez siebie.
[tex]2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2[/tex] Zgodnie z definicją mnożymy liczbę $2$, cztery razy przez siebie.
No a teraz, mamy przez siebie pomnożyć te potęgi. To w rezultacie, ile razy przez siebie mnożymy $2$?
[tex]{\color{Red}{2^3}} \cdot {\color{Blue}{2^4}}={\color{Red} {2\cdot 2\cdot 2}} \cdot {\color{Blue}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}=2^{3+ 4} = 2^{7}[/tex]
Teraz zajmiemy się ilorazem potęg o tych samych podstawach.
[tex]\cfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}[/tex]
A teraz krótkie wyjaśnienie, dlaczego wykładniki odejmujemy.
[tex]2^3=2\cdot 2\cdot 2[/tex] Zgodnie z definicją mnożymy liczbę $2$, trzy razy przez siebie.
[tex]2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2[/tex] Zgodnie z definicją mnożymy liczbę $2$, cztery razy przez siebie.
Skracamy te same liczby powtarzające się w liczniku i mianowniku. W liczniku mamy [tex]4[/tex] dwójki, w mianowniku mamy [tex]3[/tex] dwójki. Czyli:
[tex]\cfrac{\color{Blue}{2^4}}{\color{Red}{2^3}} =\cfrac{\color{Blue} {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}{\color{Red} {2\cdot 2\cdot 2}}= 2^{4 - 3} = 2[/tex]
[tex](a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m[/tex]
Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. Jeżeli potęgujemy iloczyn, to każdy składnik tego iloczynu podnosimy do tej samej potęgi.
[tex](2 \cdot 4)^5 = 2^5 \cdot 4^5[/tex]
[tex]\left(\cfrac{a}{b}\right)^m = \cfrac{a^m}{b^m} [/tex]
Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. Podnosząc ułamek do pewnej potęgi, zarówno licznik jak i mianownik podnosimy do tej samej potęgi.
[tex]\left(\cfrac{3}{5}\right)^5 = \cfrac{3^5}{5^5}[/tex]
[tex](a^m)^n = a^{m \cdot n} [/tex]
[tex]\left(10^2\right)^3 = 10^{2 \cdot 3}[/tex]
Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski.
Dzięki :)
Komentarze (10
):
Ogółem rozumiem, ale np. nie potrafię rozwiązać takiego zadania: Obliczyć czwartą część liczby 2 do potęgi 100. Jak zrobić takie coś?
Daną mamy liczbę: $2^{100}$. Jeżeli chcemy obliczyć jej czwartą część, tzn. że musimy podzielić tą liczbę na 4 części. Czyli: $2^{100} : 4$
Aby móc dzielić potęgi, to musimy mieć takie same podstawy. Zamieniamy więc $4$ na potęgę o podstawie dwa:
$4=2^2$.
Wtedy otrzymujemy:
$2^{100} : 2^2$
Jeżeli dzielimy potęgi, to ich wykładniki odejmujemy, dlatego:
$2^{100} : 2^2=2^{100-2}=2^{98}$.
nie potrafię wykonać zadania 2 . dokładniej :
2 do potęgi 5/3 * pierwiastek trzeciego stopnia z czterech do potęgi 2.
Mianowicie, rozumiem potęgi, jednak wynik nie zgadza mi się z podanymi odpowiedziami. do wyboru są wyniki: 8, pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch, 6 do potęgi 10, pierwiastek 3 stopnia z 8.
proszę o pomoc.
Rozwiązania zadań z kursu maturalnego są wysyłane kolejnego dnia.
Mam pytanie odnośnie potęg.Jak odliczać potęge czegoś takiego : (4do potęgi2)do potęgi 3-za nawiasem-.? Czy potęgi 2i3 się mnoży?Był na to wzór,tylko nie mogę nigdzie znaleźć.
I jeśli mam różne wykładniki i różne podstawy,to jak to się robi ? Np 2 do potęgi 3 * 3 do potęgi 4? Z góry dziękuję za wskazówki.
Jak obliczać jeśli mamy w nawiasie ułamek i mamy do podnieść do potęgi też ułamka.Nie wiem jak to zrobić.
Rozumiem, że chodzi np o taki przypadek:
$( \cfrac{2}{3} )^{\cfrac{3}{2}}$ ?
Możemy to przekształcić np tak:
$(\cfrac{2}{3})^{\cfrac{3}{2}}=((\cfrac{2}{3})^3)^{\cfrac{1}{2}}=(\cfrac{2^3}{3^3})^{\cfrac{1}{2}}=$
$=(\cfrac{8}{27})^{\cfrac{1}{2}}=\sqrt{\cfrac{8}{27}}$
jak obliczyc takie dzialanie (1/5) do potęgi minus 2^3?? takie zadania tez pojawiaja sie na maturze podstawowej??
$(\cfrac{1}{5})^{-2^3}=5^2^3=5^8$
Logowanie Aby dodać komentarz musisz się zalogować.
Nie masz
jeszcze konta?
Załóż darmowe konto w 30 sekund.
Rejestracja
Nie pamiętasz hasła?