Pierwiastki

4

Spis treści

  1. Pierwiastkowanie.
  2. Działania na pierwiastkach.

Pierwiastkowanie.

 

 Pierwiastkowanie jest to działanie odwrotne do potęgowania.

 

 

Definicja: Pierwiastek

[tex]\sqrt[n]{a} = b[/tex]

gdzie,

[tex]n[/tex] - stopień pierwiastka

[tex]a[/tex] - liczba podpierwiastkowa

[tex]b[/tex] - pierwiastek n-tego stopnia z [tex]a[/tex] (wynik pierwiastkowania)


Jeżeli [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] są liczbami nieujemnymi  oraz [tex]n[/tex] jest liczbą naturalną różną od [tex]1[/tex], to:

[tex]\sqrt[n]{a} = b [/tex]   wtedy i tylko wtedy, gdy   [tex]b^n = a [/tex]

Jeżeli  [tex]a[/tex] jest liczbą ujemną i [tex]n[/tex] jest liczbą nieparzystą, to

[tex]\sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{|a|} [/tex]

 

Zatem umiemy policzyć:

  • pierwiastek dowolnego stopnia z liczb nieujemnych i wynikiem tego pierwiastkowania jest liczba nieujemna
  • pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej ( $\sqrt[3]{-8}=-2$, bo $(-2)^3=-8$)

 

UWAGA! 

W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej. 

np. $\sqrt{-3}$, bo nie ma takiej liczby rzeczywistej $b$, aby spełnione było równanie $b^2=-3$.

 

Przykład:

[tex] \sqrt[2]{9} = \sqrt{9} = 3[/tex], ponieważ [tex]3^2 = 9 [/tex] - czytamy "pierwiastek z dziewięciu"

[tex] \sqrt[3]{27} = 3[/tex], ponieważ [tex]3^3 = 27 [/tex] - czytamy "pierwiastek trzeciego stopnia z dwudziestu siedmiu"

[tex] \sqrt[4]{16} = 2[/tex], ponieważ [tex]2^4 = 16 [/tex] - czytamy "pierwiastek czwartego stopnia z szesnastu"

[tex] \sqrt[3]{-3} = -\sqrt[3]{3}[/tex]

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • $\sqrt{81} = 9$
  • $\sqrt[4]{-4} = 1$
  • $\sqrt[3]{-64} = -4$
  • $\sqrt[4]{16} = 2$
  • $\sqrt{125} = 5$

Działania na pierwiastkach.

Do góry

Poniżej znajduje sie lista działań  jakie możemy wykonywać na pierwiastkach.

 

Zakładamy, że $a$ i $b$ są liczbami nieujemnymi oraz $n$ i $m$ są to liczby naturalne różne od $1$.

 

Wzór: Pierwiastek iloczynu.

[tex]\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}[/tex]

 

Pierwiastek iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków.

Przykład:

[tex]\sqrt[3]{5 \cdot 6} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{6}[/tex]

 

Wzór: Pierwiastek z pierwiastka.

[tex]\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}[/tex]

Przykład:

[tex]\sqrt[4]{\sqrt[5]{6}} = \sqrt[4 \cdot 5]{6} = \sqrt[20]{6}[/tex]

 

Wzór: Potęga pierwiastka.

[tex](\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}[/tex]

Przykład:

[tex](\sqrt[3]{5})^6 = \sqrt[3]{5^6}[/tex]

 

Wzór: Włączanie liczby pod pierwiastek.

[tex]a \cdot \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}[/tex]

Przykład:

[tex]10 \cdot \sqrt[3]{5}= \sqrt[3]{10^3 \cdot 5}[/tex]

 

Wzór: Pierwiastek ilorazu

[tex]\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}= \cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}[/tex], dla [tex] b > 0[/tex]

Pierwiastek ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.

Przykład:

[tex]\sqrt[3]{\cfrac{10}{5}}= \cfrac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{5}}[/tex]

 

 

[tex](\sqrt[n]{a})^n = a[/tex]

Przykład:

[tex]\sqrt[3]{5}^3= 5[/tex]

 

[tex]\sqrt[n]{a^n} = \left\{\begin{matrix} |a|, \quad  \text{gdy n - parzyste} \\ a, \quad \text{gdy n -nieparzyste} \end{matrix}\right.[/tex]

Myślę, że powyższy wzór wymaga wyjaśnień. Trzeba tutaj koniecznie przypomnieć, że nie umiemy obliczać pierwiastków parzystego stopnia z liczb ujemnych. Z pierwiastkami nieparzystego stopnia nie ma problemu, bo umiemy je obliczać zarówno dla liczb dodatnich jak i ujemnych ( dlatego jeżeli $n$ jest nieparzyste to możemy odrazu "skrócić" pierwiastek z potęgą i  otrzymamy  poprostu $a$). Teraz zwróć uwagę jak to wygląda, jeżeli $n$ jest liczbą parzystą. Spójrz na przykład poniżej. To samo działanie liczymy na dwa sposoby:

 1) bez skracania pierwiastka ( najpierw potęgujemy liczbę pod pierwiastekiem, a następnie wyciągamy pierwiastek):

$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$

W przypadku, gdy $n$ jest liczbą parzystą, "skracając"  pierwiastek z potęgą, musimy zastosować wartość bezwzględna, aby otrzymać to co powyżej. Bez tego otrzymalibyśmy inny wynik, przy tym samym działaniu! 

2) "skracamy" pierwiastek z potęgą ( w wyniku musimy otrzymać liczbę dodatnią, bo pierwiastek jest parzystego stopnia):

$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$

 

Przykład:

[tex]\sqrt[3]{5^3} = 5[/tex]

[tex]\sqrt[4]{(-2)^4} = |-2|=2[/tex]

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej
$3 \cdot \sqrt{a}$
$\sqrt[2]{a^2}$
$\sqrt[m \cdot n]{10}$
$\sqrt{9 \cdot a}$
$|a|$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{10}}$


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (1):

Liceum » Pierwiastki i potęgi » #428
3

Oblicz [tex]\cfrac{\sqrt{32}-\cfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{2}}}{\left(\cfrac{1}{\sqrt{2}}-\cfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^0} \cdot \sqrt{8}[/tex].

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (1)

Komentarze (
4
):

Do góry