Procent składany.
Załóżmy, że mamy $1000$zł. Zakładamy lokatę na 2 lata, oprocentowaną $5\%$ w skali roku. Czy wiesz w jaki sposób liczone są odsetki od włożonego kapitału? Wygląda to tak:
- 1 rok:
Na koniec pierwszego roku, otrzymujemy odsetki od zgromadzonego kapitału. Jest to $5\%$ od włożonej wartości pieniężnej. Czyli na koniec pierwszego roku na koncie bankowym będziemy mieć nasz włożony $1000$zl na lokatę plus odsetki od tego kapitału:
[tex]1000zl + 5\% \cdot 1000 zl=1000zl+0,05 \cdot 1000zl=1000zl+50zl =1050zl[/tex]
- 2 rok:
Na koniec drugiego roku, odsetki są liczone od całości kwoty, jaką mieliśmy na początku tego roku. A na początku roku na koncie mieliśmy włożony $1000$zl i odsetki po pierwszym roku, czyli $1050$zl. Zatem, kwota jaką będziemy mieć na koniec drugiego roku, to:
[tex]1050zl + 5\% \cdot 1050 zl=1050zl+0,05 \cdot 1050zl=1050zl+52,5zl=1102,5zl[/tex]
Procent składany to oprocentowanie wkładu pieniężnego, polegające na tym, że odsetki od wkładu są również kapitalizowane.
Procent składany wykorzystywany jest do np. obliczania wartości lokat po zadanej liczbie okresów kapitalizacji odsetek.
Kapitalizacja odsetek nie koniecznie musi być raz w roku. Może to być raz na kwartał, raz w miesiącu czy nawet codziennie. W zależności od tego różnie oblicza się wartość kapitału po upływie pewnego czasu. Korzystamy wtedy z poniższego wzoru.
[tex]K=K_0 \left(1+\cfrac{r}{m}\right)^{n \cdot m}[/tex]
gdzie
$K_0$ - wartość wkładu pieniężnego
$n$ - liczba lat
$m$ - liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku
$r$ - roczna stopa procentowa ( w postaci dziesiętnej )
Założyłeś dwuletnią lokatę, której oprocentowanie wynosi [tex]8\%[/tex] w skali roku. Jaka będzie wartość Twojego kapitału po upływie dwóch lat jeśli kwota wpłacona przez Ciebie to [tex]2000[/tex] zł, a kapitalizacja odsetek jest roczna?
Obliczamy:
Wypiszmy najpierw wszystkie dane z zadania:
$n=2$ - lokata została założona na okres dwóch lat
$m=1$ - kapitalizacja odsetek jest raz w roku
$r=8\%=0,08$ - oprocentowanie w skali roku
$K_0=2000$ - wartość początkowa kapitału ( kwota jaką wpłaciliśmy na lokatę)
Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy wartość kapitału końcowego:
[tex]K=K_0 \left(1+\cfrac{r}{m}\right)^{n \cdot m}[/tex]
$=2000\cdot \left(1 + \cfrac{0.08}{1}\right)^{2\cdot1}$
[tex]=2000 \cdot 1.08^2 = 2000 \cdot 1.1664 = 2332.80 [/tex]
Na $3$-letnią lokatę wpłacono [tex]3000 [/tex] zł i po jej zakończeniu kwota ta wzrosła o [tex]240[/tex] zł. Jakie było oprocentowanie, jeżeli odsetki były kapitalizowane co kwartał?
Obliczamy:
Wypiszmy najpierw wszystkie dane z zadania:
$n=3$ - lokata została założona na okres trzech lat
$K_0=3000$ - wartość początkowa kapitału ( kwota jaką wpłaciliśmy na lokatę)
$240$ - o tyle wzrósł kapitał na lokacie
$m=4$ - kapitalizacja odsetek jest raz w ciągu kwartału, zatem w ciągu roku mamy 4 kapitalizacje
$r\%$ -nie znamy wartości oprocentowania, to chcemy obliczyć
Wiemy, że kapitał wzrósł o $240$ zł, zatem po zakończeniu lokaty kapitał końcowy wynosił:
$K=K_0+240=3000+240=3240\ zl$
Podstawiamy wszystkie dane do wzoru, i obliczamy $r$. Ponieważ do wzoru musimy podstawić $r$ jako wartość liczbową a nie procentową, to podstawimy wartość:
$r\%=\cfrac{r}{100}$
[tex]K=K_0 \left(1+\cfrac{r}{m}\right)^{n \cdot m}[/tex]
[tex]3240 = 3000\cdot \left(1 + \cfrac{\cfrac{r}{100}}{ 4} \right)^{3\cdot 4} [/tex]
[tex]1.08 = \left(1 + \cfrac{r}{400}\right)^{12} [/tex]
[tex]1,006434 =1+ \cfrac{r}{400} [/tex]
[tex]0,006434 =\cfrac{r}{400} [/tex]
[tex]r = 2,57[/tex]
Oprocentowanie wynosiło [tex]2,57\%[/tex].
Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski.
Dzięki :)
Komentarze (2
):
czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć w jaki sposób pozbyto się potęgi w przykładzie 2??
Obie strony równania zostały spierwiastkowane, pierwiastkiem 12 stopnia.
Logowanie Aby dodać komentarz musisz się zalogować.
Nie masz
jeszcze konta?
Załóż darmowe konto w 30 sekund.
Rejestracja
Nie pamiętasz hasła?