Definicje przedziałów liczbowych

5

Spis treści

  1. Przedział liczbowy ograniczony.
  2. Przedział liczbowy nieograniczony.

Przedział liczbowy ograniczony.

Definicja: Przedział liczbowy ograniczony.

Niech: [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex] oraz [tex]a<b[/tex].

Przedziałem liczbowym ograniczonym, nazywamy podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jednej z następujących postaci:

[tex](a,b) = \{x\in \mathbb{R}:x>a \wedge x<b \}[/tex]

[tex][a,b)=\{x\in \mathbb{R}: x \geq a \wedge x<b \}[/tex]

[tex](a,b]=\{x\in \mathbb{R}: x > a \wedge x \leq b \}[/tex]

[tex][a,b]=\{x\in \mathbb{R}: x \geq a \wedge x \leq b \}[/tex]

Poniżej opis każdego z tych przedziałów.

 

  • [tex](a,b) = \{x\in \mathbb{R}:x>a \wedge x<b \}[/tex]

Do tego przedziału, należą wszystkie liczby rzeczywiste, większe od [tex]a[/tex] i mniejsze od [tex]b[/tex]. Przedział ten nazywamy (obustronnie) otwartym, ponieważ skrajne punkty [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] do niego nie należą.

Przedział otwarty oznaczamy nawiasem orkągłym  .

 

Przykład:

[tex](2,5),\ (-25,70),\ (0,9),\ ...[/tex]

 

  • [tex][a,b)=\{x\in \mathbb{R}: x \geq a \wedge x<b \}[/tex]

Do tego przedziału, należą wszystkie liczby rzeczywiste, większe  lub równe [tex]a[/tex] i mniejsze od [tex]b[/tex]. Przedział ten nazywamy lewostronnie domkniętym, ponieważ punkt [tex]a[/tex] do tego zbioru należy, a punkt [tex]b[/tex] nie.

Domknięcie przedziału oznaczamy nawiasem kwadratowym  lub < i >.

 

Przykład:

[tex][-8,5),\ [-5,70),\ [0,44),\ ...[/tex]

 

  • [tex](a,b]=\{x\in \mathbb{R}: x > a \wedge x \leq b \}[/tex]

Do tego przedziału, należą wszystkie liczby rzeczywiste, większe od [tex]a[/tex] i mniejsze lub równe [tex]b[/tex]. Przedział ten nazywamy prawostronnie domkniętym, ponieważ punkt [tex]a[/tex] do tego zbioru nie należy, a punkt [tex]b[/tex] tak.

 

Przykład:

[tex](2,42],\ (-25,0],\ (4,9],\ ...[/tex]

 

  • [tex][a,b]=\{x\in \mathbb{R}: x \geq a \wedge x \leq b \}[/tex]

Do tego przedziału, należą wszystkie liczby rzeczywiste, większe lub równe [tex]a[/tex] i mniejsze lub równe [tex]b[/tex]. Przedział ten nazywamy (obustronnie) domkniętym, ponieważ oba skrajne punkty [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] należą do tego zbioru.

 

Przykład:

[tex][4,7],\ [3,25],\ [0,12],\ ...[/tex]

Do góry
  • Zaznacz, które zdania są prawdziwe, a które fałszywe.
    Approved-icon Alert-icon
  • Dany jest przedział $(3,5]$. Do tego przedziału należy liczba $5$.
  • Dany jest przedział $[4,5]$. Do tego przedziału nie należy liczba $4 $.
  • Dany jest przedział $(-4,4)$. Do tego przedziału należy liczba $-2$.

Przedział liczbowy nieograniczony.

Do góry

Definicja: Przedział liczbowy nieograniczony.

Niech [tex]a\in \mathbb{R}[/tex].

Przedziałem liczbowym nieograniczonym nazywamy podzbiór liczb rzeczywistych, jednej z następujących postaci:

[tex](a,+\infty)=\{x \in \mathbb{R}: x > a \}[/tex]

[tex][a,+\infty)=\{x \in \mathbb{R}: x \geq a \}[/tex]

[tex](-\infty, a)=\{x \in \mathbb{R}: x < a \}[/tex]

[tex](-\infty,a]=\{x \in \mathbb{R}: x \leq a \}[/tex]

Tak jak poprzednio, wyjaśnię teraz co oznaczają poszczególne zapisy.

 

  • [tex](a,+\infty)=\{x \in \mathbb{R}: x > a \}[/tex]

Do tego przedziału należą wszystkie liczby rzeczywiste, które są większe od [tex]a[/tex]. Przedział ten nazywamy otwartym, ponieważ punkt [tex]a[/tex] do niego nie należy.

 

Przykład:

[tex](2,+\infty),\ (-25,+\infty),\ (0,+\infty),\ ...[/tex]

 

  • [tex][a,+\infty)=\{x \in \mathbb{R}: x \geq a \}[/tex]


Do tego przedziału należą wszystkie liczby rzeczywiste, które są większe lub równe [tex]a[/tex]. Przedział ten nazywamy lewostronnie domkniętym, ponieważ punkt [tex]a[/tex] do niego należy.

 

Przykład:

[tex][-9,+\infty),\ [5,+\infty),\ [0,+\infty),\ ...[/tex]

 

  • [tex](-\infty, a)=\{x \in \mathbb{R}: x < a \}[/tex]


Do tego przedziału należą wszystkie liczby rzeczywiste, które są mniejsze od [tex]a[/tex]. Przedział ten nazywamy otwartym, ponieważ punkt [tex]a[/tex] do niego nie należy.

 

Przykład:

[tex](-\infty,8),\ (-\infty,99),\ (-\infty,0),\ ...[/tex]

 

  • [tex](-\infty,a]=\{x \in \mathbb{R}: x \leq a \}[/tex]


Do tego przedziału należą wszystkie liczby rzeczywiste, które są mniejsze lub równe [tex]a[/tex]. Przedział ten nazywamy prawostronnie domkniętym, ponieważ punkt [tex]a[/tex] do niego należy.

 

Przykład:

[tex](-\infty,91],\ (-\infty,2],\ (-\infty,0],\ ...[/tex]

 

Do góry


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Komentarze (
5
):

Do góry