Jesteś w: Matematyka
»
Tablice matematyczne
»
Liceum
»
Statystyka
»
Średnia arytmetyczna i �...

Średnia arytmetyczna i średnia ważona.

Spis treści

Liczebność. Histogram liczebności.
Średnia arytmetyczna.
Średnia ważona.

Liczebność. Histogram liczebności.

Definicja: Liczebność występowania wartości.

Liczbę [tex]n_i[/tex] danych przyjmujących tę samą wartość [tex]x_i[/tex] zmiennej [tex]X[/tex] nazywamy liczebnością tej wartości zmiennej.

Przykład 1

W pewnej klasie uczniowie otrzymali następujące oceny ze sprawdzianu z matematyki

[tex]3, 4, 4, 5, 3, 2, 4, 5, 5, 3, 5[/tex]

Powyższe zestawienie jest mało czytelne. Policzymy, ile ocen każdego rodzaju w nim występuje:

[tex]x_1 = 2 \quad n_1 = 1[/tex] jest jedna dwójka

[tex]x_2 = 3 \quad n_2 = 3[/tex] są trzy trójki

[tex]x_3 = 4 \quad n_3 = 3[/tex] są trzy czwórki

[tex]x_4 = 5 \quad n_4 = 4[/tex] są cztery piątki

Otrzymamy zestawienie nowego typu, które można wpisać do tabeli rozkładu liczebności (tabela liczebności):

[tex]x_i[/tex]	2	3	4	5
[tex]n_i[/tex]	1	3	3	4

Tego typu dane dobrze jest zaprezentować graficznie.

Histogram liczebności (histogram) to wykres, w którym na osi poziomej odkładamy kolejne dane. Na osi pionowej odkładamy liczebności poszczególnych danych. Każdej danej przyporządkowany jest słupek o stałej szerokości oraz o wysokości równej liczebności tej danej.

Histogram dla rozważanego przykładu wygląda tak:

Do góry

Średnia arytmetyczna.

Przy opracowywaniu danych bardzo często stajemy przed koniecznością podania liczby charakteryzującej w jakiś sposób cały zbiór danych. Takie liczby nazywamy średnimi. Najpopularniejszą średnią jest średnia arytmetyczna.

Definicja: Średnia arytmetyczna.

Średnią arytmetyczną [tex]n[/tex] liczb [tex]x_1,\ x_2, ..., x_n \ \in \mathbb{R}[/tex] jest:

[tex]m=\cfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}[/tex]

Przykład 2

Średnią arytmetyczną liczb [tex]1,\ 1,\ 4,\ 6[/tex] jest

[tex]m=\cfrac{1+1+4+6}{4}=3[/tex]

W przypadku, gdy mamy dane wartości [tex]x_i[/tex] i liczebności ich występowania [tex]n_i[/tex] wzór na średnią arytmetyczną przyjmuje postać

Definicja: Średnia arytmetyczna. (wersja rozbudowana)

Średnią arytmetyczną szeregu szczegółowego [tex](x_1, n_1),\ (x_2, n_2), ..., (x_k, n_k)[/tex] jest:

[tex]m=\cfrac{x_1 \cdot n_1+ x_2 \cdot n_2 +...+x_k \cdot n_k}{n_1 + n_2 + ... + n_k}[/tex]

gdzie:

[tex]n_1 + n_2 + ... + n_k = n[/tex]

[tex]x_i \ \in \mathbf{R}[/tex] - wartość

[tex]n_i \ \in \mathbf{N}[/tex] - liczebność wartości [tex]x_i[/tex]

Przykład 3

Oblicz średnią ocenę ze sprawdzianu z matematyki mając histogram uzyskanych ocen

Odczytujemy oceny i ich liczebności z histogramu

[tex]x_1 = 2 \quad n_1 = 1[/tex]

[tex]x_2 = 3 \quad n_2 = 3[/tex]

[tex]x_3 = 4 \quad n_3 = 3[/tex]

[tex]x_4 = 5 \quad n_4 = 4[/tex]

Liczymy średnią zgodnie z definicją dla szeregu szczegółowego

[tex]m = \cfrac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4 }{1 + 3 + 3 + 4} = \cfrac{2 + 9 + 12 + 20}{11} = \cfrac{43}{11} \approx 4[/tex]

Średnia ocena ze sprawdzianu to w zaokrągleniu [tex]4[/tex].

Przykład 4

Oblicz średni rozmiar butów drużyny piłkarskiej mając tabelę liczebności

[tex]x_i[/tex]	42	42,5	43	44	45
[tex]n_i[/tex]	4	2	7	2	3

Liczymy średnią zgodnie z definicją dla szeregu szczegółowego

[tex]m = \cfrac{42 \cdot 4 + 42.5 \cdot 2 + 43 \cdot 7 + 44 \cdot 2 + 45 \cdot 3}{4 + 2 + 7 + 2 + 3} = \cfrac{168 + 85 + 301 + 88 + 135}{18} = \cfrac{777}{18} \approx 43[/tex]

Średni rozmiar buta w przybliżeniu wynosi [tex]43[/tex].

Do góry

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Średnią arytmetyczną liczb $1, 2, 3, 4, 5$ jest $ 3 $
Średnią arytmetyczną liczb $-1, 2, 0, 1, -2$ jest $ 0 $
Średnią arytmetyczną liczb $7, 21, 8, 4, -3$ jest $ 7 $

Średnia ważona.

Do góry

Definicja: Średnia arytmetyczna ważona.

Średnią arytmetyczną ważoną [tex]n[/tex] liczb [tex]x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{R}[/tex] z wagami [tex]w_1, w_2, ..., w_n \in \mathbf{R^+}[/tex] jest liczba:

[tex]m_w=\cfrac{w_1 \cdot x_1+w_2 \cdot x_2+...+w_n \cdot x_n}{w_1+w_2+...+w_n}[/tex]

Przykład 5

Dla podanego zbioru danych [tex]X=\{ 4, 6, 88, 5, 3 \}[/tex] i wag

[tex]w_1=2[/tex]

[tex]w_2=3[/tex]

[tex]w_3=0,5[/tex]

[tex]w_4=2[/tex]

[tex]w_5=1[/tex]

oblicz średnią arytmetyczną ważoną.

Obliczamy średnią ważoną liczb ze zbioru [tex]A[/tex]. Każdą wartość tego zbioru mnożymy przez jej wagę, sumujemy wszystkie te iloczyny i dzielimy przez sumę wag.

[tex]m_w=\cfrac{2 \cdot 4+3 \cdot 6+0,5 \cdot 88+ 2 \cdot 5+1 \cdot 3}{2+3+0,5+2+1}=\cfrac{8+18+44+10+3}{8,5}=\cfrac{83}{8,5} \approx 9,8[/tex]

Do góry

Liczby $1, 5, 7, 4$, wagi $2, 3, 1, 2$

Liczby $-1, 5, 7, -4$, wagi $7, 4, 1, 5$

Liczby $0, 1, 10$, wagi $10, 10, 1$

$ 4 $

$ 0 $

$ \cfrac{20}{21} $

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)