Spis treści
Mediana
Medianą (wartością środkową) nazywamy tę wartość, która dzieli zbiór danych [tex]\{ x_1, x_2, ..., x_n \}[/tex] na dwie części tak, że liczba danych, której wartości są mniejsze od mediany, jest równa liczbie danych, których wartości zmiennej są większe od mediany.
Jeżeli [tex]\{x_1,x_2,...,x_n\}[/tex] jest zbiorem posortowanych niemalejąco danych to
- jeżeli [tex]n[/tex] jest liczbą parzystą to medianą jest liczba:
[tex]m_e=\cfrac{x_{\cfrac{n}{2}}+x_{\cfrac{n}{2}+1}}{2}[/tex]
- jeżeli [tex]n[/tex] jest liczbą nieparzystą to medianą jest liczba:
[tex]m_e=x_\cfrac{n+1}{2}[/tex]
Wyznacz medianę zbioru [tex]\{56,3,5,8,6,33\}[/tex].
Sortujemy zbiór
[tex]\{3,5,6,8,33,56\}[/tex]
Liczba elementów zbioru [tex]n=6[/tex] jest parzysta
[tex]x_{\cfrac{n}{2}}=x_{\cfrac{6}{2}}=x_3=6[/tex]
[tex]x_{\cfrac{n}{2}+1}=x_{\cfrac{6}{2}+1}=x_{3+1}=x_4=8[/tex]
Obliczamy medianę:
[tex]m_e=\cfrac{6+8}{2}=7[/tex]
Wyznacz medianę zbioru [tex]\{44,1,4,6,222,67,567\}[/tex].
Sortujemy zbiór
[tex]\{1,4,6,44,67,222,567\}[/tex]
Liczba elementów zbioru [tex]n=7[/tex] jest nieparzysta. Zgodnie ze wzorem medianą jest liczbą
[tex]m_e=x_{\cfrac{n+1}{2}}=x_{\cfrac{7+1}{2}}=x_{\cfrac{8}{2}}=x_4=44[/tex]
-
Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
-
Medianą zbioru $\{ 1, 2, 4, 5, 6 \}$ jest $ 4 $
-
Medianą zbioru $\{ -2, 3, 0, 6 \}$ jest $ \cfrac{3}{2} $
-
Medianą zbioru $\{ -2, -2, 2, 6, 6 \}$ jest $ 2 $
Wariancja
Wariancją nazywamy średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń od średniej arytmetycznej.
[tex]A=\{x_1,x_2,...,x_n\}[/tex] - zbiór danych
[tex]m[/tex] - średnia arytmetyczna danych ze zbioru [tex]A[/tex]
Wariancję obliczamy ze wzoru:
[tex]\sigma^2 = \cfrac{(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+...+(x_n-m)^2}{n}[/tex]
Oblicz wariancję danych ze zbioru [tex]A=\{4,5,8,9,14\}[/tex]
Najpierw obliczamy średnią arytmetyczną danych ze zbioru [tex]A[/tex]. Sumujemy wszystkie wartości i dzielimy przez ich ilość.
[tex]m=\cfrac{4+5+8+9+14}{5}=8[/tex]
Obliczamy wariancję
[tex]\sigma^2 = \cfrac{(4-8)^2+(5-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(14-8)^2}{5}=\cfrac{62}{5}=12,4[/tex]
Wariancję szeregu szczegółowego [tex]A = \{ (x_1, n_1),\ (x_2, n_2), ..., (x_k, n_k) \}[/tex] obliczamy
[tex]\sigma^2 = \cfrac{n_1 \cdot (x_1 - m)^2 + n_2 \cdot (x_2 - m)^2 + ... + n_k \cdot (x_k - m)^2}{n}[/tex]
gdzie:
[tex]n_1 + n_2 + ... + n_k = n[/tex]
[tex]x_i \ \in \mathbf{R}[/tex] - wartość
[tex]n_i \ \in \mathbf{N}[/tex] - liczebność wartości [tex]x_i[/tex]
[tex]m[/tex] - średnia arytmetyczna danych ze zbioru szczegółowego [tex]A[/tex]
Oblicz średnią ocenę ze sprawdzianu z matematyki mając histogram uzyskanych ocen
Odczytujemy oceny i ich liczebności z histogramu
[tex]x_1 = 2 \quad n_1 = 1[/tex]
[tex]x_2 = 3 \quad n_2 = 3[/tex]
[tex]x_3 = 4 \quad n_3 = 3[/tex]
[tex]x_4 = 5 \quad n_4 = 4[/tex]
Liczymy ile osób pisało sprawdzian:
[tex]n = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 1 + 3 + 3 + 4 = 11[/tex]
Liczymy średnią zgodnie z definicją dla szeregu szczegółowego
[tex]m = \cfrac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4 }{1 + 3 + 3 + 4} = \cfrac{2 + 9 + 12 + 20}{11} = \cfrac{43}{11}[/tex]
Liczymy wariancję
[tex]\sigma^2 = \cfrac{1 \cdot \left(2 - \cfrac{42}{11}\right)^2 + 3 \cdot \left(3 - \cfrac{42}{11}\right)^2 + 3 \cdot \left(4 - \cfrac{42}{11}\right)^2 + 4 \cdot \left(5 - \cfrac{42}{11}\right)^2}{11}[/tex]
[tex]\sigma^2 = \cfrac{1 \cdot \left(\cfrac{22}{11} - \cfrac{42}{11}\right)^2 + 3 \cdot \left(\cfrac{33}{11} - \cfrac{42}{11}\right)^2 + 3 \cdot \left(\cfrac{44}{11} - \cfrac{42}{11}\right)^2 + 4 \cdot \left(\cfrac{55}{11} - \cfrac{42}{11}\right)^2}{11}[/tex]
[tex]\sigma^2 = \cfrac{1 \cdot \left(-\cfrac{20}{11}\right)^2 + 3 \cdot \left(-\cfrac{9}{11}\right)^2 + 3 \cdot \left(\cfrac{2}{11}\right)^2 + 4 \cdot \left(\cfrac{13}{11}\right)^2}{11}[/tex]
[tex]\sigma^2 = \cfrac{1 \cdot \cfrac{400}{121} + 3 \cdot \cfrac{81}{121} + 3 \cdot \cfrac{4}{121} + 4 \cdot \cfrac{169}{121}}{11}[/tex]
[tex]\sigma^2 = \cfrac{\cfrac{400}{121} + \cfrac{243}{121} + \cfrac{12}{121} + \cfrac{676}{121}}{11}[/tex]
[tex]\sigma^2 = \cfrac{\cfrac{1331}{121}}{11} = \cfrac{11}{11} = 1[/tex]
Odchylenie standardowe.
Odchylenie standardowe jest miarą, która określa jak bardzo wartości danych są rozproszone wokół średniej. Im większa wartość odchylenia standardowego, tym dane są bardziej oddalone od wartości średniej.
Odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi z wariancji.
[tex]\sigma=\sqrt{\sigma^2}[/tex]
Dla zbioru [tex]A=\{-1, 0, 1\}[/tex] oblicz odchylenie standardowe.
Obliczamy średnią arytmetyczną danych ze zbioru [tex]A[/tex]
[tex]m=\cfrac{-1 + 0 + 1}{3} = 0[/tex]
liczymy wariancję
[tex]\sigma^2= \cfrac{(-1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 0)^2}{3} = \cfrac{1 + 0 + 1}{3} = \cfrac{2}{3}[/tex]
Zgodnie ze wzorem odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji, zatem wynosi:
[tex]\sigma=\sqrt{\cfrac{2}{3}} = \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \cfrac{\sqrt{6}}{3}[/tex]
-
Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
-
Odchyleniem standardowym $\{ -1, 2, 1 \}$ jest $ 3 $
-
Odchyleniem standardowym $\{ 1, 1, 2, 2 \}$ jest $ \cfrac{1}{2} $
-
Odchyleniem standardowym $\{ -1, -3, 4 \}$ jest $ \cfrac{2\sqrt{15}}{3} $
Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski.
Dzięki :)
Komentarze (0
):
Logowanie Aby dodać komentarz musisz się zalogować.
Nie masz
jeszcze konta?
Załóż darmowe konto w 30 sekund.
Rejestracja
Nie pamiętasz hasła?