Związki między funkcjami trygonometrycznymi.

Spis treści

1. Jedynka trygonometryczna.
2. Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta.

Jedynka trygonometryczna.

Dzięki temu związkowi możemy w łatwy sposób wyliczyć wartość funkcji [tex]\sin\alpha[/tex], gdy mamy daną wartość [tex]\cos\alpha[/tex] lub odwrotnie.

Korzystając z wzoru na jedynkę trygonometryczną mamy

[tex](\cfrac{1}{2})^2 + \cos^2\alpha = 1[/tex]

[tex]\cfrac{1}{4} + \cos^2\alpha = 1[/tex]

[tex]\cos^2\alpha = 1 - \cfrac{1}{4}[/tex]

[tex]\cos^2\alpha = \cfrac{3}{4}[/tex]

zatem

[tex]\cos\alpha = \cfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad  \text{lub}\qquad  \cos\alpha = -\cfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

ponieważ [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym a wartości  cosinusa dla kąta ostrego są dodatnie, otrzymujemy

[tex]\cos\alpha = \cfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Liczymy wartość podstawiając za mianownik zależność na jedynkę trygonometryczną

[tex]\cfrac{1}{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha} = \cfrac{1}{1} = 1[/tex]

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta.

Między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta [tex]\alpha[/tex] zachodzą związki:

dla [tex]\sin\alpha \neq 0[/tex] i [tex] \cos\alpha \neq 0[/tex]

 Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby obliczyć [tex]\cos\alpha[/tex]

[tex](\cfrac{1}{2})^2 + \cos^2\alpha = 1[/tex]

[tex]\cfrac{1}{4} + \cos^2\alpha = 1[/tex]

[tex]\cos^2\alpha = 1 - \cfrac{1}{4}[/tex]

[tex]\cos^2\alpha = \cfrac{3}{4}[/tex]

[tex]\cos\alpha = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad  \text{lub} \qquad \cos\alpha = -\cfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

ponieważ [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym

[tex]\cos\alpha = \cfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

korzystając ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta liczymy

[tex]\tan\alpha = \cfrac{ \sin\alpha }{ \cos\alpha } = \cfrac{ \cfrac{1}{2} }{ \cfrac{ \sqrt{3} }{2} } = \cfrac{ 1 }{\sqrt{3}} = \cfrac{\sqrt{3}}{3}[/tex]

[tex]\cot\alpha = \cfrac{ 1  }{ \tan\alpha } = \cfrac{ 1 }{ \cfrac{ \sqrt{3} }{3} } = \cfrac{ 3 }{\sqrt{3}} = \cfrac{ 3\sqrt{3} }{3} = \sqrt{3}[/tex]

Korzystając ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta liczymy

[tex]\cot\alpha = \cfrac{1}{\tan\alpha} = \cfrac{1}{1} = 1[/tex]

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Wykaż, że prawdziwa jest tożsamość

 [tex]\sin(x-y)\cdot \sin(x+y)=(\sin x -\sin y)\cdot (\sin x +\sin y)[/tex]

Udowodnij, że prawdziwa jest równość [tex]\cfrac{1}{\sin^2\alpha}-\cot^2\alpha=1[/tex] dla wszystkich  [tex]\alpha\in (0,90^{\circ}][/tex].

Dla jakiego [tex]\alpha\in [0,90^{\circ}][/tex] spełniona jest równość: [tex]\cot\alpha=3\tan\alpha[/tex]?

Sprawdź czy prawdziwa jest równość  [tex](\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin2\alpha[/tex].