Związki między funkcjami trygonometrycznymi c.d.

Spis treści

1. Związki dotyczące funkcji sinus.
2. Związki dla cosinusa i tangensa.
3. Wzory redukcyjne.
4. Tożsamości trygonometryczne.

---

Związki dotyczące funkcji sinus.

W tej nauce przedstawimy kilka nowych związków między funkcjami trygonometrycznymi.

Korzystając z wzoru na sinus sumy kątów, to zadanie możemy bardzo łatwo rozwiązać.

[tex]\sin105^{\circ}=\sin(60^{\circ}+45^{\circ})=\sin60^{\circ} \cos45^{\circ}+\cos60^{\circ} \sin45^{\circ}=[/tex]

[tex]=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot  \cfrac{\sqrt{2}}{2}+\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2}=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex]

 

Korzystając z wzoru na sinus sumy kątów, to zadanie możemy bardzo łatwo rozwiązać.

[tex]\sin15^{\circ}=\sin(60^{\circ}-45^{\circ})=\sin60^{\circ} \cos45^{\circ}-\cos60^{\circ} \sin45^{\circ}=[/tex]

[tex]=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot  \cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2}=\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex]

Związki dla cosinusa i tangensa.

 

[tex]\cos15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})=\cos45^{\circ} \cos30^{\circ} + \sin45^{\circ} \sin30^{\circ}=[/tex]

[tex]=\cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot  \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex]

 

 

 

Wzory redukcyjne.

Aby łatwo wyznaczać wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta, przez sprowadzanie do przypadku kąta ostrego, możemy korzystać nie tylko z powyższych wzorów, ale także ze wzorów redukcyjnych. Są one niejednokrotnie dużo bardziej pomocne przy rozwiązywaniu tego typu zadań.

Zanim jednak przejdziemy do omówienia wzorów redukcyjnych, musisz zapoznać się z poniższą tabelą znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach.

Przypomnienie:

Tabela znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach:

  

 

Sprowadzanie obliczania wartości funkcji trygonometrycznych  dowolnego kąta do przypadku kąta ostrego za pomocą wzorów redukcyjnych, możemy podzielić na dwa etapy.

• Pierwszy etap to ustalenie znaku ( [tex]+[/tex] lub [tex]-[/tex]).

Do ustalania znaku posłuży nam powyższa tabela. Mam nadzieję, że z zapamiętaniem znaków funkcji trygonometrycznych nie masz już problemów. W jaki sposób ustalamy znak pokażemy na przykładzie:

[tex]\quad  \sin(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)[/tex]

Ponieważ [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym, to [tex]\cfrac{\pi}{2}-\alpha[/tex] leży w pierwszej ćwiartce. Sinus w pierwszej ćwiartce jest dodatni, zatem znak tego wyrażenia to: [tex]\Large{+}[/tex].

[tex]\quad  \cos(\cfrac{\pi}{2}+\alpha)[/tex]

Ponieważ [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym, to [tex]\cfrac{\pi}{2}+\alpha[/tex] leży w drugiej ćwiartce. Kosinus w drugiej ćwiartce jest ujemny, zatem znak tego wyrażenia to: [tex]\Large{-}[/tex].

[tex]\quad  \tan(\cfrac{3}{2}\pi-\alpha)[/tex]

Ponieważ [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym, to [tex]\cfrac{3}{2}\pi-\alpha[/tex] leży w trzeciej ćwiartce. Tangens w trzeciej ćwiartce jest dodatni, zatem znak tego wyrażenia to: [tex]\Large{+}[/tex].

[tex]\quad  \cot(\cfrac{3}{2}\pi+\alpha)[/tex]

Ponieważ [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym, to [tex]\cfrac{3}{2}\pi+\alpha[/tex] leży w czwartej ćwiartce. Kotangens w czwartej ćwiartce jest ujemny, zatem znak tego wyrażenia to: [tex]\Large{-}[/tex].

 

• Drugi etap to zdecydowanie czy funkcja zmienia się na przeciwną czy też nie. Tzn. czy sinus zmienia się na cosinus (bądź odwrotnie) oraz czy tangens zmienia się na kotangens ( lub odwrotnie).

Zasada jest następująca:

Jeżeli obliczamy wartość funkcji trygonometrycznej dla kątów [tex]\cfrac{\pi}{2} \pm \alpha[/tex] lub [tex]\cfrac{3}{2}\pi \pm \alpha[/tex], to zmieniamy funkcję na przeciwną (kofunkcję).

Jeżeli obliczamy wartość funkcji trygonometrycznej dla kątów [tex]\pi \pm \alpha[/tex] lub [tex]2\pi - \alpha[/tex], to nie zmieniamy funkcji.

 

Jeżeli już ustalimy znak oraz funkcję to możemy zredukować kąt jaki mamy obliczyć. Tzn.

[tex]\quad \sin (\cfrac{\pi}{2}+\alpha)=...[/tex]

Kąt [tex]\cfrac{\pi}{2}+\alpha[/tex] leży w drugiej ćwiartce. Sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni, zatem znak wyrażenia jest dodatni.

Obliczamy wartość dla [tex]\cfrac{\pi}{2}+\alpha[/tex], dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą,  zmieniamy funkcję sinus na kofunkcję czyli kosinus..

Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta [tex]\alpha[/tex]. Otrzymujemy, że [tex]\sin (\cfrac{\pi}{2}+\alpha)= \cos (\alpha)[/tex].

 

[tex]\quad \cos (\cfrac{\pi}{2}-\alpha)=...[/tex]

Kąt [tex]\cfrac{\pi}{2}-\alpha[/tex] leży w pierwszej ćwiartce. Kosinus w pierwszej ćwiartce jest dodatni, zatem znak wyrażenia jest dodatni.

Obliczamy wartość dla [tex]\cfrac{\pi}{2}-\alpha[/tex], dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą,  zmieniamy funkcję kosinus na kofunkcję czyli sinus.

Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta [tex]\alpha[/tex]. Otrzymujemy, że [tex]\cos (\cfrac{\pi}{2}-\alpha)= \sin (\alpha)[/tex].

 

[tex]\quad \tan (\pi-\alpha)=...[/tex]

Kąt [tex]\pi-\alpha[/tex] leży w drugiej ćwiartce. Tangens w drugiej ćwiartce jest ujemny, zatem znak wyrażenia jest ujemny.

Obliczamy wartość dla [tex]\pi-\alpha[/tex], dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą, nie zmieniamy funkcji.

Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta [tex]\alpha[/tex]. Otrzymujemy, że [tex]\tan (\pi-\alpha)= -\tan (\alpha)[/tex].

 

[tex]\quad \cot (\pi+\alpha)=...[/tex]

Kąt [tex]\pi+\alpha[/tex] leży w trzeciej ćwiartce. Kotangens w trzeciej ćwiartce jest dodatni, zatem znak wyrażenia też jest dodatni.

Obliczamy wartość dla [tex]\pi+\alpha[/tex], dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą, nie zmieniamy funkcji.

Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta [tex]\alpha[/tex]. Otrzymujemy, że [tex]\cot (\pi+\alpha)= \cot (\alpha)[/tex].

Tożsamości trygonometryczne.

Tożsamość trygonometryczna, to pewna zależność między funkcjami trygonometrycznymi. Już wcześniej omówiliśmy kilka z nich, jak np.

• [tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex] (Jedynka trygonometryczna)
• [tex] \tan x \cdot \cot x=1[/tex]
• [tex]\tan x=\cfrac{\sin x}{\cos x}[/tex], gdy [tex]\cos x \neq 0[/tex].

Teraz zajmiemy się udowadnianiem innych tożsamości trygonometrycznych. Przedstawimy kilka przykładów.

Udowodnij tożsamości:

[tex]a) \quad \cfrac{2 \tan x}{1- \tan^2 x}=\cfrac{2\sin x \cos x}{1-2 \sin^2 x}[/tex]

[tex]b) \quad \cfrac{1-  \tan^2 x}{1+ \tan^2 x}= 1-2 \sin^2 x[/tex]

[tex]c) \quad \sin(x+y)\sin(x-y)=\sin^2x-\sin^2y[/tex]

Rozwiązując tego typu zadania, przekształcamy wyrażenie po jednej stronie równania i dochodzimy do drugiej strony równania.

[tex]a) \quad \cfrac{2 \tan x}{1- \tan^2 x}=\cfrac{2 \cfrac{\sin x}{\cos x}}{1- \cfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\cfrac{2 \cfrac{\sin x}{\cos x}}{ \cfrac{\cos^2x-\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\cfrac{2 \cfrac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos^2 x}{ \cos^2x-\sin^2 x}=\cfrac{2 \sin x \cos x}{ 1-\sin^2x-\sin^2 x}=[/tex]

[tex]=\cfrac{2\sin x \cos x}{1-2 \sin^2 x}[/tex]

 

[tex]b) \quad \cfrac{1-  \tan^2 x}{1+ \tan^2 x}=   \cfrac{1-  \cfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{1+ \cfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=   \cfrac{\cfrac{\cos^2x-\sin^2 x}{\cos^2 x}}{\cfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}}= \cfrac{\cos^2x-\sin^2 x}{\cos^2 x+\sin^2 x}=\cos^2x-\sin^2 x=[/tex]

[tex]=1-\sin^2 x-\sin^2 x=1-2 \sin^2 x[/tex]

 

c)

[tex]\quad \sin(x+y)\sin(x-y)=[/tex]

[tex]=(\sin x \cos y + \sin y \cos x ) (\sin x \cos y - \sin y \cos x )= [/tex]

[tex]=(\sin^2 x \cos^2 y - \sin^2 y \cos^2 x - \sin x \cos y \sin y \cos x+[/tex]

[tex]+\sin y \cos x \sin x \cos y)=\sin^2 x \cos^2 y - \sin^2 y \cos^2 x=[/tex]

[tex]=\sin^2 x (1-\sin^2 y) - \sin^2 y(1- \sin^2 x)=[/tex]

[tex]=\sin^2 x - \sin^2 x \sin^2 y - \sin^2 y+\sin^2 x \sin^2 y=[/tex]

[tex]= \sin^2x- \sin^2y[/tex]

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)