Jesteś w: Matematyka
»
Tablice matematyczne
»
Liceum
»
Wartość bezwzględna
»
Rozwiązywanie nierówno�...

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną.

Spis treści

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną. Część 1.
Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną. Część 2.

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną. Część 1.

Niech [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] i [tex]b \in \mathbb{R^+}[/tex].

Mamy daną nierówność z wartością bezwzględną typu:

[tex]|x-a|<b[/tex]

W jaki sposób rozwiązujemy tego typu nierówności, przedstawimy na przykładzie:

Przykład:

[tex]|x-4|<6[/tex]

Wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną musi być mniejsze od liczby [tex]6[/tex] i jednocześnie większe od liczby do niej przeciwnej [tex]-6[/tex]. Zatem opuszczając wartość bezwzględną, otrzymujemy dwie nierówności, które muszą być spełnione jednocześnie:

[tex]x-4<6[/tex] i [tex]x-4>-6[/tex]

Rozwiązujemy je, i otrzymujemy:

[tex]x<6+4=10[/tex]

[tex]x>-6+4=-2[/tex]

Czyli:

[tex]x<10[/tex] i [tex]x>-2[/tex]

Zatem rozwiązaniem tego typu nierówności jest przedział:

[tex](-2,10)[/tex]

Rozwiązanie to zaznaczamy na osi liczbowej:

Jeżeli nierówność byłaby słaba, tzn. mamy nierówność typu:

[tex]|x-a|\leq b[/tex]

To rozwiązujemy analogicznie, przy czym rozwiązaniem jest przedział domknięty.

[tex]|x-4|\leq 6[/tex]

[tex]x\geq -2[/tex] [tex]\wedge[/tex] [tex]x\leq 10[/tex]

A teraz ćwiczenie dla Ciebie. Poniżej znajduje się kilka nierówności z wartością bezwzględną. Zdecyduj czy ich rozwiązania zostały poprawnie zaznaczone na osi liczbowej.

Rys.1 [tex]|x+2|<4[/tex]

Rys.2 [tex]|x-5|\leq 1[/tex]

Rys.3 [tex]|3-x|<8[/tex]

Rys.4 [tex]|x+2|\leq 5[/tex]

Do góry

Zaznacz, które zdania są prawdziwe, a które falszywe

1. Nierówność $|x+2|<4$ jest poprawnie zaznaczona na Rys.1?
2. Nierówność $|x-5|\leq 1$ jest poprawnie zaznaczona na Rys.2?
3. Nierówność $|3-x|<8$ jest poprawnie zaznaczona na Rys.3?
4. Nierówność $|x+2|\leq 5$ jest poprawnie zaznaczona na Rys.4?

Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną. Część 2.

Do góry

Mamy daną nierówność typu:

[tex]|x-a| > b[/tex]

Podobnie jak wyżej rozwiązywanie tego typu nierówności przedstawimy na przykładzie:

[tex]|x-6|>3[/tex]

Wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną musi być większe od [tex]3[/tex] lub mniejsze od [tex]-3[/tex]. Zatem opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy dwie nierówności. Rozwiązaniem będzie suma rozwiązań każdej z nich.

[tex]x-6>3[/tex] lub [tex]x-6<-3[/tex]

Rozwiązujemy obie nierówności:

[tex]x>3+6=9[/tex]

lub

[tex]x<-3+6=3[/tex]

Czyli:

[tex]x>9[/tex] lub [tex]x<3[/tex]

[tex]x\in (9,+\infty)[/tex] lub [tex] x\in (-\infty, 3)[/tex]

Rozwiązaniem jest zbiór będący sumą tych przedziałów:

[tex](-\infty,3) \cup (9,+\infty)[/tex]

Jeżeli nierówność jest słaba, czyli [tex]|x-6| \geq 3[/tex] wówczas rozwiązaniem jest zbiór:

[tex](-\infty,3] \cup [9,+\infty)[/tex]

Do góry

$|x+4|>2$

$|x-4|\leq 1$

$|x+5| \geq 10$

$|x+2| \leq 3$

$|x-1| >1$

$ x \in (-\infty,-6) \cup (-2,+\infty)$

$x \in [3,5]$

$x \in (-\infty,-15] \cup [5,+\infty)$

$x \in [-5,1]$

$ x \in (-\infty,0) \cup (2,+\infty) $

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (4):

Liceum » Wartość bezwzględna » #6

Rozwiąż i zaznacz na osi liczbowej: [tex]| x+2| \leq 14[/tex]

Zobacz rozwiązanie

Podobne (4)

Liceum » Wartość bezwzględna » #5

Rozwiąż i zaznacz na osi: [tex]| x-9|< 10[/tex].

Zobacz rozwiązanie

Podobne (4)

Liceum » Wartość bezwzględna » #390

Przedział [tex]A[/tex] jest złożony z liczb rzeczywistych będących rozwiązaniem nierówności [tex]|x+9|<5,3[/tex], natomiast przedział [tex]B[/tex] składa się z tych liczb rzeczywistych, które są rozwiązaniem nierówności [tex]|x-3|>1,2[/tex]. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą jednocześnie do obu tych przedziałów.

Zobacz rozwiązanie

Podobne (3)

Liceum » Wartość bezwzględna » #627

Zbiór rozwiązań nierówności [tex] | x-3| < 2 [/tex] został zaznaczony na osi:

Zobacz rozwiązanie

Podobne (3)