Definicja wielomianu, działania na wielomianach.

0

Spis treści

  1. Definicja wielomianu.
  2. Stopień wielomianu.
  3. Pierwiastek wielomianu.
  4. Równość wielomianów.
  5. Operacje na wielomianach.

Definicja wielomianu.

Definicja: Wielomian

Wielomianem jednej zmiennej [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] nazywamy funkcję określoną wzorem

[tex]W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0[/tex]

gdzie

[tex]n \in \mathbb{N}[/tex] - stopień wielomianu

[tex]a_0, a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}[/tex] - współczynniki wielomianu

[tex]a_n \neq 0[/tex] - wyraz przy najwyższej potędze

[tex]a_0[/tex] - wyraz wolny wielomianu

Przykład 1

[tex]W(x) = 3x^4 + 3x^2 + 2[/tex]

Jest to wielomianem stopnia [tex]4[/tex].

 

Przykład 2

[tex]W(x) = \cfrac{\sqrt{2}}{2}x^3 + 3x^2 + 4x + 2[/tex]

Jest to wielomianem stopnia [tex] 3 [/tex].

 

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • Funkcja $W(x)=2x^3 + 2^x + 2x + 5$ jest wielomianem
  • Funkcja $W(x)=3x^5$ jest wielomianem
  • Funkcja $W(x)=2$ jest wielomianem

Stopień wielomianu.

Do góry

Definicja: Stopień wielomianu.

Stopień wielomianu to najwyższy wykładnik potęgi zmiennej wielomianu o niezerowym współczynniku.

Inaczej mówiąc to wartość najwyższej potęgi wielomianu. Zobacz na przykładzie o co dokładnie chodzi.

Przykład 3

[tex]W(x) = 4x^5 + 4x^2 + 4x + 1[/tex]

Stopień wielomianu W to [tex]5[/tex], bo najwyższa wartość potęgi  [tex]x[/tex] to [tex]5[/tex].

 

Definicja: Wielomian stopnia zerowego.

Funkcja stała [tex]W(x) = c[/tex], gdzie [tex]c \neq 0[/tex], jest wielomianem stopnia zerowego.

Wielomian stopnia zerowego zawsze przyjmuje stałą wartość. Nie jest zależny od [tex]x[/tex].

Przykład 4

[tex]W(x) = 2[/tex]

[tex]W(x) = -1[/tex]

 

Definicja: Wielomian zerowy.

Wielomianem zerowym nazywamy funkcję stale równą zero, tzn dla [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] [tex]W(x) = 0[/tex]. Taki wielomian nie ma określonego stopnia.

Przykład 5

[tex]W(x) = 0[/tex]


Do góry
Określ stopień wielomianu po lewej stronie
$W(x) = 2x + $$\sqrt{2}x^3 + 5$
$Q(x) = 1$
$P(x) = x^{11} + x^2$$ + 1$
$ 3 $
$ 0 $
$ 11 $

Pierwiastek wielomianu.

Do góry

Definicja: Pierwiastek wielomianu.

Każdą liczbę [tex]r[/tex], dla której [tex]W(r) = 0[/tex] nazywamy pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu [tex]W(x)[/tex].

Inaczej mówiąc pierwiastek wielomianu [tex]W(x)[/tex] to taka liczba, która po podstawieniu do tego wielomianu w miejsce [tex]x[/tex] daje wartość [tex]0[/tex].

 

Przykład 6

[tex]W(x) = 2x-2[/tex], pierwiastkiem jest liczba [tex]x=1[/tex], bo [tex]W(1) = 2 \cdot ( 1 - 1 ) = 0[/tex]

 

Przykład 7

[tex]W(x) = x^2-2x+1[/tex], pierwiastkiem jest liczba [tex]x=1[/tex], bo [tex]W(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 1 = 0[/tex]

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • Pierwiastkiem wielomianu $W(x)=2x^2 - 4x + 2$ jest $x=1$
  • Pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3 - 9$ jest $x=-3$
  • Pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3 + x^2 -x - 1$ jest $x=3$

Równość wielomianów.

Do góry

Definicja: Równość wielomianów.

Dwa wielomiany są równe, jeżeli współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej są sobie równe.

 

Przykład 8

[tex]W(x)=3x^2+5x+2[/tex]

[tex]V(x)=ax^2+bx+c[/tex]

Wiedząc, że powyżej określone wielomiany są sobie równe, wyznacz wartości współczynników [tex]a,\ b,\ c[/tex].

Z definicji równości wielomianów, otrzymujemy równanie

[tex]3x^2+5x+2=ax^2+bx+c[/tex]

[tex]a=3[/tex]

[tex]b=5[/tex]

[tex]c=2[/tex]

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • Wielomiany $W(x)=x^2 + x$ i $Q(x)=0\cdot x^3 + x^2 + x + 0$ są równe
  • Jeżeli wielomiany $W(x)=2x^4 + 3x + 1$ i $Q(x)=ax^4 + bx^3 + cx + d$ są równe to $a=2$, $b=0$, $c=3$, $d=0$
  • Jeżeli wielomiany $W(x)=2(x-a)(x+2)$ i $Q(x)=2x^2 + 2x - 4$ są równe to $ a = 1 $

Operacje na wielomianach.

Do góry

Mamy wielomian [tex]P(x)=a_n x^n + ... + a_1 x + a_0[/tex] stopnia [tex]n[/tex] i wielomian [tex]Q(x) = b_m x^m + ... + b_1 x + b_0[/tex] stopnia [tex]m[/tex].

  • Suma wielomianów [tex]P(x)[/tex] i [tex]Q(x)[/tex] to [tex]P(x)+Q(x)[/tex] .
    Wynik jest wielomianem, którego stopień [tex]p[/tex] nie jest większy od największego spośród [tex]n[/tex] i [tex]m[/tex].
  • Różnica wielomianów [tex]P(x)[/tex] i [tex]Q(x)[/tex] to [tex]P(x)-Q(x)[/tex].
    Wynik jest wielomianem, którego stopień [tex]p[/tex] nie jest większy od największego spośród [tex]n[/tex] i [tex]m[/tex].
  • Iloczyn wielomianów [tex]P(x)[/tex] i [tex]Q(x)[/tex] to [tex]P(x) \cdot Q(x)[/tex].
    Wynik jest wielomianem, którego stopień [tex]p[/tex] nie jest większy od [tex]n \cdot m[/tex].

 

 

Przykład 9

Oblicz [tex]P(x)+Q(x)[/tex], jeżeli [tex]P(x) = x^2 +2[/tex] i [tex]Q(x) = x^3 + 3x[/tex].

 

[tex]P(x)+Q(x) = x^2 + 2 + x^3 + 3x = x^3 + x^2 + 3x + 2[/tex]

Widać także, że stopień wielomianu jest równy[tex]3[/tex] bo wartość najwyższej potęgi przy [tex]x[/tex] wynosi [tex]3[/tex].

 

 

Przykład 10

Oblicz [tex]P(x)-Q(x)[/tex], jeżeli [tex]P(x) = 2x^3 -3x^2[/tex] i [tex]Q(x) = -2x^2 -2[/tex].

 

[tex]P(x)-Q(x) = 2x^3 -3x^2 - (-2x^2 -2)[/tex]
[tex]P(x)-Q(x) = 2x^3 -3x^2 + 2x^2 + 2[/tex]
[tex]P(x)-Q(x) = 2x^3 -x^2 + 2[/tex]

Widać także, że stopień wielomianu jest równy [tex]3[/tex].

 

 

Przykład 11

Oblicz [tex]P(x) \cdot Q(x)[/tex], jeżeli [tex]P(x) = 3x^2 -x[/tex] i [tex]Q(x) = -2x^4 + 1[/tex].

 

[tex]P(x) \cdot Q(x) = (3x^2 -x)(-2x^4 +1)[/tex]

[tex]P(x) \cdot Q(x) = -6x^6 +3x^2 +2x^5 - x = -6x^6 + 2x^5 + 3x^2 - x[/tex]

Widać także, że stopień wielomianu jest równy [tex]6[/tex].

Do góry


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (5):

Liceum » Wielomiany » #34
2

Wyznacz wartości współczynników [tex]a,\ b[/tex] wiedząc, że wielomiany [tex]W(x)=5x^3+4x^2+4[/tex] oraz [tex]V(x)=(a-b)x^3+(a+b)x^2+4[/tex] są równe.

P
D
Zobacz rozwiązanie
Podobne (1)
Liceum » Wielomiany » #92
2

Wyznacz współczynniki wielomianu [tex]R(x)=ax+b[/tex], jeżeli wiemy, że [tex]R(x) \cdot P(x)=Q(x)[/tex]  oraz

[tex]P(x)=2x^2+3x+4[/tex] 

[tex]Q(x)=4x^3+12x^2+17x+12[/tex].

P
D
Zobacz rozwiązanie
Podobne (1)
Liceum » Wielomiany » #415
0

Oblicz [tex]Q(x)-P(x)[/tex], jeżeli:

[tex]Q(x)=x^3-3x^2+5x+9[/tex]

[tex]P(x)=-x^3+3x^2-11x+10[/tex].

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (5)
Liceum » Wielomiany » #441
0

Oblicz [tex] [W(x)]^2 - Q(x) [/tex] jeżeli:

[tex]W(x)=(x+3)[/tex]

[tex]Q(x)=(x+1)(x^3-3x^2-2)[/tex]

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (5)
Liceum » Wielomiany » #572
0

Wykaż, że jeżeli [tex]m[/tex] jest liczbą całkowitą, to suma współczynników wielomianu

[tex]W(x)=\left( \cfrac{4m^3}{m-\cfrac{1}{2}}x^4-2mx^3-2x^2-\cfrac{1}{2m-1}\right)^{12}[/tex]

jest także liczbą całkowitą.

R
D
Zobacz rozwiązanie

Komentarze (
0
):