Rozkład wielomianu na czynniki

Spis treści

Postać iloczynowa wielomianu
Rozkład wielomianu na czynniki pierwsze przy pomocy wzorów skróconego mnożenia.
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i grupowanie wyrazów.

Postać iloczynowa wielomianu

Definicja: Postać iloczynowa wielomianu.

Jeżeli liczby [tex]x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{R}[/tex] są pierwiastkami wielomianu [tex]W(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0[/tex] stopnia [tex]n[/tex] to postacią iloczynową wielomianu jest

[tex]W(x) = a_n(x-x_n) \cdot ... \cdot (x-x_2)(x-x_1)[/tex]

gdzie,

[tex]a_n \in \mathbb{R}[/tex] - współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej wielomianu

[tex]a_0,...a_{n-1} \in \mathbb{R}[/tex] - pozostałe współczynniki wielomianu.

Przykład 1

Wielomian [tex]W(x) = 3x^2 +3x - 18[/tex] ma pierwiastki [tex]2[/tex] i [tex]-3[/tex]. Znajdź postać iloczynową wielomianu.

Z danych zadania mamy pierwiastki wielomianu [tex]x_1 = 2[/tex], [tex]x_2 = -3 [/tex]. Wyraz przy największej potędze to [tex]a_2 = 3 [/tex]. Korzystając z definicji postaci iloczynowej wielomianu otrzymujemy:

[tex]W(x) = 3(x - 2)(x - (-3)) = 3(x-2)(x+3)[/tex]

Poniżej zostały przedstawione metody za pomocą, których możemy wielomian rozłożyć na czynniki, czyli zapisać go w postaci iloczynowej.

Do góry

Rozkład wielomianu na czynniki pierwsze przy pomocy wzorów skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia możemy wykorzystać do rozkładu wielomianu na czynniki. Poniżej kilka przykładów.

Przykład 2

Rozłóż wielomian [tex]W(x) = -2x^2 + 18[/tex] na czynniki.

Aby rozwiązać ten przykład wyłączamy [tex]-2[/tex] przed nawias i otrzymujemy:

[tex]W(x) = -2(x^2 - 9)[/tex]

stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymujemy:

[tex]W(x) = -2(x-3)(x+3)[/tex]

Przykład 3

Rozłóż wielomian [tex]W(x) = 3x^2 +6x + 3[/tex] na czynniki.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie wyłączamy [tex]3[/tex] przed nawias:

[tex]W(x) = 3(x^2 + 2x + 1)[/tex]

stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy otrzymujemy:

[tex]W(x) = 3(x+1)^2[/tex]

Przykład 4

Rozłóż wielomian [tex]W(x) = x^3 +3x^2 + 3x+1[/tex] na czynniki.

Stosując wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy otrzymujemy:

[tex]W(x) = x^3 +3x^2 + 3x+1=(x+1)^3[/tex]

Poniżej ćwiczenie utrwalające:

Do góry

$W(x) =6x^2-18$

$W(x) = 4x^2+$$12x+9$

$W(x) = 3x^3 - $$9x^2 + 9x - 3$

$W(x)=6(x- $$ \sqrt{3})(x+\sqrt{3})$

$W(x)=(2x+$$3)^2$

$W(x)=3(x$$-1)^3$

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i grupowanie wyrazów.

Do góry

Rozkładając wielomiany na czynniki, często stosuje się wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Już po części ten sposób został przedstawiony w poprzednich przykładach. Teraz omówimy to trochę szerzej.

Przykład 5

[tex]Q(x)=x^3+x^2+x[/tex]

Czynnikiem, który występuje w każdym wyrazie wielomianu jest [tex]x[/tex], zatem ten składnik możemy wyłączyć:

[tex]Q(x)=x^3+2x^2+x=x(x^2+2x+1)[/tex]

Ponieważ [tex]x^2+2x+1=(x+1)^2[/tex] to:

[tex]Q(x)=x(x+1)^2[/tex]

Przykład 6

[tex]R(x)=x^2(x+1)+x(x+1)+x(x+1)[/tex]

Czynnikiem, który występuje w każdym wyrazie wielomianu jest [tex]x+1[/tex], zatem ten składnik możemy wyłączyć i w ten sposób otrzymujemy postać iloczynową:

[tex]R(x)=x^2(x+1)+x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x^2+x+2)[/tex]

Przykład 7

[tex]R(x)=x^2(x+3)+x(x+3)+x+3[/tex]

Czynnikiem, który występuje w pierwszych dwóch wyrazach wielomianu jest [tex]x+3[/tex]. Ostatnie dwa wyrazy wielomianu to również [tex]x+3[/tex], zatem jest to czynnik, który możemy wyłączyć:

[tex]R(x)=x^2(x+3)+x(x+3)+(x+3)=(x+3)(x^2+x+1)[/tex]

Otrzymaliśmy postać iloczynową.

Przykład 8

[tex]P(x)=x^3-5x^2+2x-10[/tex]

Aby rozłożyć powyższy wielomian na czynniki, trzeba zastosować dwie operacje: wyłączania czynnika przed nawias i grupowanie wyrazów. Z pierwszych dwóch wyrazów wielomianu wyłączamy [tex]x^2[/tex], natomiast z dwóch ostatnich liczbę [tex]2[/tex].

[tex]P(x)=x^3-5x^2+2x-10=x^2(x-5)+2(x-5)[/tex]

Teraz przekształcony wielomian ma dwa wyrazy, z których każdy zawiera czynnik [tex]x-5[/tex] i ten czynnik wyłączamy przed nawias:

[tex]P(x)=x^2(x-5)+2(x-5)=(x-5)(x^2+2)[/tex]

Zatem otrzymaliśmy rozkład wielomianu na czynniki.

Jeżeli wydaje Ci się, że niektóre z powyższych przykładów są trudne lub nie wiesz kiedy zastosować, który sposób rozkładu na czynniki pierwsze, rozwiąż jeszcze kilka przykładów. Pamiętaj aby najpierw spróbować rozwiązać je samemu i dopiero potem patrzeć na gotowe rozwiązanie. Jeżeli będziesz od razu patrzył na rozwiązanie to na sprawdzianie może się okazać, że gdy otrzymasz nieco inny przykład do rozwiązania nie będziesz wiedział od której strony zacząć.

Do góry