Rozkład wielomianu na czynniki


Spis treści

  1. Postać iloczynowa wielomianu
  2. Rozkład wielomianu na czynniki pierwsze przy pomocy wzorów skróconego mnożenia.
  3. Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i grupowanie wyrazów.

Postać iloczynowa wielomianu

Definicja: Postać iloczynowa wielomianu.

Jeżeli liczby są pierwiastkami wielomianu stopnia to postacią iloczynową wielomianu jest

gdzie,

- współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej wielomianu

- pozostałe współczynniki wielomianu.

 

Przykład 1

Wielomian ma pierwiastki i . Znajdź postać iloczynową wielomianu.

 

Z danych zadania mamy pierwiastki wielomianu , . Wyraz przy największej potędze to . Korzystając z definicji postaci iloczynowej wielomianu otrzymujemy:

Poniżej zostały przedstawione metody za pomocą, których możemy wielomian rozłożyć na czynniki, czyli zapisać go w postaci iloczynowej.

Rozkład wielomianu na czynniki pierwsze przy pomocy wzorów skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia możemy wykorzystać do rozkładu wielomianu na czynniki. Poniżej kilka przykładów.

 

Przykład 2

Rozłóż wielomian  na czynniki.

 

Aby rozwiązać ten przykład wyłączamy przed nawias i otrzymujemy:

stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymujemy:

Przykład 3

Rozłóż wielomian  na czynniki.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie wyłączamy przed nawias:

stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy otrzymujemy:

Przykład 4

Rozłóż wielomian  na czynniki.

Stosując wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy otrzymujemy:

 

Poniżej ćwiczenie utrwalające:

Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i grupowanie wyrazów.

Rozkładając wielomiany na czynniki, często stosuje się wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Już po części ten sposób został przedstawiony w poprzednich przykładach. Teraz omówimy to trochę szerzej.

Przykład 5

Czynnikiem, który występuje w każdym wyrazie wielomianu jest , zatem ten składnik możemy wyłączyć:

Ponieważ to:

Przykład 6

Czynnikiem, który występuje w każdym wyrazie wielomianu jest , zatem ten składnik możemy wyłączyć i w ten sposób otrzymujemy postać iloczynową:

Przykład 7

Czynnikiem, który występuje w pierwszych dwóch wyrazach wielomianu jest . Ostatnie dwa wyrazy wielomianu to również , zatem jest to czynnik, który możemy wyłączyć:

Otrzymaliśmy postać iloczynową.

Przykład 8

Aby rozłożyć powyższy wielomian na czynniki, trzeba zastosować dwie operacje: wyłączania czynnika przed nawias i grupowanie wyrazów. Z pierwszych dwóch wyrazów wielomianu wyłączamy , natomiast z dwóch ostatnich liczbę .

Teraz przekształcony wielomian ma dwa wyrazy, z których każdy zawiera czynnik i ten czynnik wyłączamy przed nawias:

Zatem otrzymaliśmy rozkład wielomianu na czynniki.

 

Jeżeli wydaje Ci się, że niektóre z powyższych przykładów są trudne lub nie wiesz kiedy zastosować, który sposób rozkładu na czynniki, rozwiąż jeszcze kilka przykładów. Jak to mówią, "trening czyni mistrza".

  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Definicja wielomianu, działania na wielomianach.
  2. Dzielenie wielomianów.
  3. Nierówności wielomianowe.
  4. Pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.
  5. Rozwiązywanie równań wielomianowych
  6. Równanie wielomianowe

Zadania do przećwiczenia (2):

Liceum » Wielomiany » #330
1

Zapisz wielomian  w postaci iloczynowej.


P
K
Liceum » Wielomiany » #413
3

Rozłóż wielomian na czynniki.

Wskazówka: .


P
K

Zobacz zadania z działu wielomiany(52)


Komentarze (
0
):