Równanie wielomianowe

0

Spis treści

  1. Co to jest równanie wielomianowe?
  2. Pierwiastek wielomianu.
  3. Postać iloczynowa wielomianu.
  4. Rozkład wielomianu.
  5. Twierdzenie Bezout.
  6. Potencjalne pierwiastki wielomianu.

Co to jest równanie wielomianowe?

Definicja: Równanie wielomianowe. (Równanie algebraiczne n-tego stopnia)

Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci:

[tex]W(x)=0[/tex]

gdzie [tex]W(x)[/tex] jest wielomianem stopnia [tex]n > 0[/tex].

Szczególne przypadki równania wielomianowego to równanie liniowe i równanie kwadratowe.

 

Przykład 1

Równanie [tex]x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = 0[/tex] jest równaniem wielomianowym stopnia [tex]4[/tex].

Równanie [tex]x^3 + 4x^3 + 2x = -2[/tex] jest równaniem wielomianowym stopnia [tex]3[/tex] ponieważ jest równoważne równaniu [tex]5x^3 + 2 x+ 2 = 0[/tex].


Do góry
  • Zaznacz, które z równań są równaniami wielomianowymi:
    Approved-icon Alert-icon
  • $x^2 + x +1 = e^x$
  • $x^2 + x +1 = x^3$
  • $3x^2 + 2x +1 = 3x^2$

Pierwiastek wielomianu.

Do góry

 

Definicja: Pierwiastek wielomianu.

Liczbę [tex] a [/tex] nazywamy pierwiastkiem wielomianu [tex]W(x)[/tex], jeżeli [tex]W(a)=0[/tex].

Prościej mówiąc, pierwiastkiem wielomianu jest liczba, która po podstawieniu za zmienną [tex]x[/tex] do wielomianu, da wynik 0. 

 

Wniosek.

Pierwiastek wielomianu jest zarazem pierwiastkiem równania algebraicznego.

 

Zobaczmy na przykładzie jak sprawdzić czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu. 

 

Przykład 2

Czy liczba [tex] 2 [/tex] jest pierwiastkiem wielomianu [tex]W(x)=x^3 + x^2 -5x^2 +x +6[/tex]?

Podstawiamy [tex]x = 2[/tex]

[tex]w(2)=2^3 + 2^2 -5 \cdot 2^2 +2 +6= 8 + 4 - 5 \cdot  4 + 2 + 6 = 20 - 20 = 0[/tex]

zatem liczba [tex] 2 [/tex] jest pierwiastkiem wielomianu.

 

Przykład 3

Czy liczba [tex] -1 [/tex] jest pierwiastkiem wielomianu [tex]W(x)=x^4 -x^3+6[/tex]?

Podstawiamy [tex]x = -1[/tex]

[tex]W(-1)=(-1)^4 - (-1)^3 + 6 = -1 - (-1) + 6 = -1 + 1 + 6 = 6 \neq 0[/tex]

zatem liczba [tex]-1[/tex] nie jest pierwiastkiem rozważanego wielomianu.

 

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • Pierwiastkiem wielomianu $W(x)=\cfrac{3}{2} x^2 - 6x + 1$ jest $ x=2 $
  • Pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x(x^2 - 1)+ 2x^2-2$ jest $ x=-1 $
  • Pierwiastkiem wielomianu $W(x)=\cfrac{1}{2}x -1$ jest $ x=2 $

Postać iloczynowa wielomianu.

Do góry

 

Twierdzenie: Postać iloczynowa wielomianu.

Jeżeli liczby [tex]x_1, x_2, ... x_n[/tex] są pierwiastkami wielomianu [tex]W(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0[/tex] stopnia [tex]n[/tex], to

[tex]W(x) = a_n(x-x_n) \cdot ... \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_1)[/tex]

Innymi słowy znając wszystkie [tex]n[/tex] pierwiastków wielomianu stopnia [tex]n[/tex] możemy go zapisać w postaci iloczynowej.

Przykład 4

[tex]Q(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6[/tex]

Wielomian jest [tex]3[/tex]-ego stopnia i ma pierwiastki [tex]-1, -2, -3[/tex], ponieważ [tex]Q(-1) = 0, Q(-2) = 0, Q(-3) = 0[/tex]. Zgodnie z twierdzeniem mamy

[tex]Q(x) = (x+1)(x+2)(x+3)[/tex]

 

Do góry

Rozkład wielomianu.

 

Twierdzenie: O rozkładzie wielomianu.

Każdy wielomian niezerowy [tex]W(x)[/tex] jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.

Przykład 5

[tex]W(x) = x^3 + 4x^2 + 8x + 8[/tex]

Wielomian ma pierwiastek [tex]-2[/tex] ponieważ [tex]W(-2) = 0[/tex], zatem możemy napisać

[tex]W(x) = (x+2)(x^2 + 2x + 4)[/tex]

Wielomian (trójmian kwadratowy) [tex]x^2 + 2x + 4[/tex] ma wyróżnik [tex]\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0[/tex], więc nie ma pierwiastków i dlatego nie da się go rozłożyć na czynniki.

Zgodnie z twierdzeniem byliśmy w stanie rozłożyć wielomian [tex]W(x)[/tex] stopnia [tex]3[/tex] na iloczyn wielomianu [tex]x+2[/tex] stopnia [tex]1[/tex] i wielomianu [tex]x^2 + 2x + 4[/tex] stopnia [tex]2[/tex].

 

Twierdzenie: O ilości pierwiastków wielomianu.

Wielomian jednej zmiennej stopnia [tex]n[/tex] ma co najwyżej [tex]n[/tex] pierwiastków.

 

 
Do góry

Twierdzenie Bezout.

 

Twierdzenie: Bezout.

Liczba [tex]r[/tex] jest pierwiastkiem wielomianu [tex]W(x)[/tex] wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez dwumian [tex]x-r[/tex]

[tex]W(r) = 0[/tex] wtedy i tylko wtedy, gdy [tex]W(x) = (x-r) \cdot Q(x)[/tex], gdzie [tex]Q(x)[/tex] jest wielomianem.

 

Przykład 6

[tex]W(x) = x^4 -3x^2 + x -2[/tex]

Wielomian [tex]W(x)[/tex] ma pierwiastek [tex]-2[/tex], ponieważ [tex]W(-2) = 0[/tex], zgodnie z twierdzeniem mamy

[tex]W(x) = (x+2) \cdot Q(x)[/tex]

[tex]W(x) = (x +2)(x^3 -2x^2 + x -1)[/tex]

 

Pozostaje pytanie jak zgadywać pierwiastki wielomianu? Odpowiedź na to pytanie jest w następnym akapicie.

Do góry

Potencjalne pierwiastki wielomianu.

 

Twierdzenie: Potencjalne pierwiastki wielomianu.

Jeżeli wielomian [tex]W(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0[/tex] o współczynnikach całkowitych

  • ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego [tex]a_0[/tex]
  • ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego [tex]\cfrac{p}{q}[/tex], to [tex]p[/tex] jest dzielnikiem wyrazu wolnego [tex]a_0[/tex], a [tex]q[/tex] jest dzielnikiem współczynnika [tex]a_n[/tex] przy najwyższej potędze zmiennej.

 

Przykład 7

[tex]W(x) = x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12[/tex]

Wielomian [tex]W(x)[/tex] może mieć pierwiastki całkowite (dzielniki wyrazu wolnego [tex]12[/tex]):

[tex]1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12[/tex]

Sprawdzamy, czy zaproponowane liczby to pierwiastki

[tex]W(1) = 1^4 + 2 \cdot 1^3 - 7 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 + 12=[/tex]

[tex]= 1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0[/tex]

[tex] 1 [/tex] jest pierwiastkiem

[tex]W(-1) = (-1)^4 + 2 \cdot (-1)^3 - 7 \cdot (-1)^2 - 8 \cdot (-1) + 12=[/tex]

[tex]= 1 - 2 + 7 + 8 + 12 = 26 \neq 0[/tex]

[tex] -1 [/tex] nie jest pierwiastkiem

[tex]W(2) = 2^4 + 2 \cdot 2^3 - 7 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 12=[/tex]

[tex] = 16 + 16 - 28 - 16 + 12 = 0[/tex]

[tex] 2 [/tex] jest pierwiastkiem

[tex]W(-2) = (-2)^4 + 2 \cdot (-2)^3 - 7 \cdot (-2)^2 - 8 \cdot (-2) + 12=[/tex]

[tex]= 16 - 16 - 28 + 16 + 12 = 0[/tex]

[tex] -2 [/tex] jest pierwiastkiem

[tex]W(-3) = (-3)^4 + 2 \cdot (-3)^3 - 7 \cdot (-3)^2 - 8 \cdot (-3) + 12=[/tex]

[tex] = 81 - 54 - 63 + 24 + 12 = 0[/tex]

[tex] -3 [/tex] jest pierwiastkiem

ponieważ znaleźliśmy już [tex] 4 [/tex] pierwiastki rozważanego wielomianu stopnia [tex] 4 [/tex] oznacza to, że znaleźliśmy wszystkie pierwiastki wielomianu.
Gdybyśmy, nie znaleźli wszystkich [tex]4[/tex] pierwiastków wielomianu, należałoby sprawdzić pierwiastki wymierne. Jednak w tym przypadku potencjalne pierwiastki całkowite są te same co wymierne z uwagi na współczynnik [tex] 1 [/tex] przy najwyższej potędze zmiennej wielomianu.

 

Do góry


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (4):

Liceum » Wielomiany » #556
1

Dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex], reszta z dzielenia wielomianu

[tex]W(x)=(m+15)x^{30}+(m-15)x^{29}+(m+14)x^{28}+(m-14)x^{27}+...[/tex]

[tex]+(m+1)x^{2}+(m-1)x+m^2-m[/tex]

przez dwumian [tex]x+1[/tex] jest równa [tex]246[/tex].

R
D
Zobacz rozwiązanie
Podobne (3)
Liceum » Wielomiany » #566
0

Reszta z dzielenia wielomianu [tex]W(x)[/tex] przez trójmian [tex]x^2-x-6[/tex] wynosi [tex]2x-1[/tex]. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu [tex]W(x)[/tex] przez dwumian [tex]x-3[/tex].

R
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (2)
Liceum » Wielomiany » #559
0

Wielomian [tex]W(x)=x^4+x^3+ax^2+bx+c[/tex] jest podzielny przez [tex]x^2-4x+3[/tex]. Reszta z dzielenia wielomianu [tex]W(x)[/tex] przez dwumian [tex]x+3[/tex] wynosi [tex]-48[/tex]. Oblicz współczynniki [tex]a,\ b,\ c[/tex].

R
D
Zobacz rozwiązanie
Podobne (4)
Liceum » Wielomiany » #355
0

Znajdź rzeczywiste pierwiastki wielomianu [tex]W(x) = x^6 - x^4 + x^2 -1[/tex]

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (3)

Komentarze (
0
):