Rozwiązywanie równań wielomianowych

0

Rozwiązywanie równań wielomianowych.

Aby rozwiązać równanie wielomianowe (inaczej algebraiczne), 

[tex]W(x) = 0[/tex]

musimy rozłożyć wielomian [tex]W(x)[/tex] na czynniki tzn. zapisać go w postaci iloczynu nierozkładalnych wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.

[tex]W(x) = Q_1(x) \cdot Q_2(x) \cdot ... \cdot Q_m(x)[/tex],

Wtedy równanie przyjmuje postać

[tex]Q_1(x) \cdot Q_2(x) \cdot ... \cdot Q_m(x) = 0[/tex],

Rozwiązania tego równania znajdujemy, porównując każdy ze składników iloczynu do zera:

[tex]Q_1(x) = 0[/tex] lub  [tex]Q_2(x) = 0[/tex] lub  [tex]...[/tex] lub [tex]Q_m(x) = 0[/tex]

Innymi słowy iloczyn równy jest zero, jeżeli którykolwiek z jego czynników równy jest zero.

 

Przykład 1

Rozwiąż równanie

[tex]2(x-1)(x+2)(x^2+5) = 0[/tex].

Porównujemy każdy czynnik (każde wyrażenie w nawiasie) do zera:

[tex]x - 1 = 0[/tex] lub [tex] x + 2 = 0[/tex]  lub [tex]x^2 + 5 = 0[/tex]

[tex]x  = 1[/tex] lub [tex]x  = -2[/tex] lub [tex]x^2 = -5[/tex]

ostatnie równanie jest sprzeczne, otrzymujemy zatem rozwiązanie

[tex]x=-2[/tex] lub [tex]x=1[/tex]

 

Największym problemem w rozwiązywaniu równań wielomianowych jest znajdywanie czynników [tex]Q_1(x), Q_2(x), ..., Q_m(x)[/tex] wielomianu [tex]W(x)[/tex].

Sposób w jaki rozkładamy wielomiany na czynniki, został przedstawiony w innej lekcji. Szczególnie przydatna staje się tu "Metody Hornera".

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej
Rozwiązaniem $3x^3 + 6x^2 + 12x$$ + 24 = 0$ jest
Rozwiązaniem $x^3 + 3x^2 - 4x$$ -12 = 0$ jest
Rozwiązaniem $3x^4 - 3x^2 - 36$$ = 0$ jest
$x=-2$
$x=-3$ lub $x= -2$ lub $x=2$
$x=-2$ lub $x=2$


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (2):

Liceum » Wielomiany » #18
2

Rozwiąż równanie:

[tex]2x^3-18x+x^2-9=0[/tex]

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (9)
Liceum » Wielomiany » #21
2

Rozwiąż równanie:

[tex]x^4-4x^2+x^2-4=0[/tex]

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (9)

Komentarze (
0
):