Pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.

0

Pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Przypomnienie:

Definicja: Wielomian

Wielomianem jednej zmiennej [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] nazywamy funkcję określoną wzorem

[tex]W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0[/tex]

gdzie

[tex]n \in \mathbb{N}[/tex] - stopień wielomianu

[tex]a_0, a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}[/tex] - współczynniki wielomianu

[tex]a_n \neq 0[/tex] - wyraz przy najwyższej potędze

[tex]a_0[/tex] - wyraz wolny wielomianu

 

Definicja: Pierwiastek wielomianu

Każdą liczbę [tex]r[/tex], dla której [tex]W(r) = 0[/tex] nazywamy pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu [tex]W(x)[/tex].

 

Teraz zwróć szczególną uwagę na dwa następujące twierdzenia. Będą one bardzo pomocne, przy poszukiwaniu pierwiastków wielomianu.

Dany jest wielomian [tex]W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0[/tex] o współczynnikach całkowitych, gdzie [tex]a_n \neq 0[/tex].

Twierdzenie: O pierwiastkach całkowitych wielomianu

Jeżeli wielomian [tex]W(x)[/tex] ma pierwiastek całkowity to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

Przykład 1

Znajdź  jeden z pierwiastków wielomianu

[tex]P(x)=x^3+3x^2-8x-4[/tex].

Wielomian [tex]P(x)[/tex] ma wszystkie współczynniki całkowite.  Dzielniki wyrazu wolnego (czyli liczby [tex]-4 [/tex]) to:

[tex]-4,4,-2,2,-1,1 [/tex]

Sprawdzamy wartości wielomianu [tex]P(x)[/tex] dla kolejnych dzielników:

[tex]P(1)=1+3-8-4=-8 \neq 0[/tex]

Liczba [tex]1[/tex] nie jest pierwiastkiem wielomianu [tex]P(x)[/tex].

 

[tex]P(-1)=-1+3+8-4=6 \neq 0[/tex]

Liczba [tex]-1[/tex] nie jest pierwiastkiem wielomianu [tex]P(x)[/tex].

 

[tex]P(2)=8+12-16-4=0[/tex]

Liczba [tex]2[/tex]  jest pierwiastkiem wielomianu [tex]P(x)[/tex].

 

 

Twierdzenie: O pierwiastkach wymiernych wielomianu

Jeżeli wielomian [tex]W(x)[/tex] ma pierwiastek wymierny to licznik tego pierwiastka jest  dzielnikiem wyrazu wolnego, a  mianownik jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

Przykład 2

Znajdź pierwiastki wielomianu [tex]Q(x)=2x^3-x^2-2x+1[/tex].

Mamy dany wielomian o współczynnikach całkowitych. Szukamy jego pierwiastków wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego to: [tex]-1,1[/tex].

Dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze to: [tex]-2,2,-1,1[/tex].

Zatem liczby, które mogłyby być pierwiastkami wielomianu [tex]Q(x)[/tex] to:

[tex]\cfrac{-1}{-2},\cfrac{-1}{2},\cfrac{-1}{-1},\cfrac{-1}{1},\cfrac{1}{-2},\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{-1},\cfrac{1}{1}[/tex]

czyli w rezultacie otrzymujemy [tex]4[/tex] liczby, które mogą być pierwiastkami wielomianu [tex]Q(x)[/tex]:

[tex]\cfrac{1}{2},-\cfrac{1}{2},1,-1[/tex].

Sprawdzamy wartości wielomianu dla tych liczb:

 

[tex]Q(\cfrac{1}{2})=2\cdot (\cfrac{1}{2})^3-(\cfrac{1}{2})^2-2\cdot (\cfrac{1}{2})+1=[/tex]

[tex]=2\cdot \cfrac{1}{8}-\cfrac{1}{4}-1+1=0[/tex]

Liczba [tex]\cfrac{1}{2}[/tex] jest pierwiastkiem wielomianu [tex]Q(x)[/tex]

 

[tex]Q(-\cfrac{1}{2})=2\cdot (-\cfrac{1}{2})^3-(-\cfrac{1}{2})^2-2\cdot (-\cfrac{1}{2})+1=[/tex]

[tex]=2\cdot (-\cfrac{1}{8})-\cfrac{1}{4}+1+1=\cfrac{3}{2}[/tex]

Liczba [tex]-\cfrac{1}{2}[/tex] nie jest pierwiastkiem wielomianu [tex]Q(x)[/tex].

 

[tex]Q(1)=2-1-2+1=0[/tex]

Liczba [tex]1[/tex] jest pierwiastkiem wielomianu [tex]Q(x)[/tex]

 

[tex]Q(-1)= -2-1+2+1=0[/tex]

Liczba [tex]-1[/tex] jest pierwiastkiem wielomianu [tex]Q(x)[/tex]

 

Wszystkimi pierwiastkami wielomianu wielomianu [tex]Q(x)[/tex] są: [tex]\{-1,\cfrac{1}{2},1\}[/tex].

Do góry
  • Dane są wielomiany: $P(x)=6x^3-7x^2+1$ $Q(x)=6x^3+7x^2-1$.
    Approved-icon Alert-icon
  • Pierwiastkami wielomianu $P(x)$ są $\{\cfrac{1}{2},-\cfrac{1}{3},1\}$
  • Pierwiastkami wielomianu $Q(x)$ są $\{\cfrac{1}{2},-\cfrac{1}{3},-1\}$


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Komentarze (
0
):