Liceum - Zadania z rozwiązaniami

Wyznacz dziedzinę następującego wyrażenia wymiernego:

[tex]\cfrac{x^2-\sqrt{3}}{(x^2-4)(x^2-8x+15)}[/tex]

Odcinek [tex]AC[/tex] przeciął przekątną przekroju osiowego walca w punkcie [tex]S[/tex], w taki sposób, że [tex]|AS|:|SC|=2:1[/tex]. Odcinek [tex]AE[/tex] ma długość [tex]6[/tex], a pole trójkąta [tex]ABC[/tex] wynosi [tex]135[/tex]. Oblicz pole boczne walca oraz jego objętość.

Zapisz za pomocą jednego przedziału zbiór [tex]A\cap B[/tex], gdzie [tex]A=(2,+\infty),\ B=(-10,15][/tex], a następnie zaznacz go na osi liczbowej.

Rozwiąż równanie: [tex]|x-7|=\cfrac{4}{3}[/tex]

Rozwiąż równanie: [tex]x^2-4x-40=2x+32[/tex]

Rozwiąż równanie: [tex]|x+5|=34[/tex]

[tex]A[/tex] jest przedziałem określonym następująco: [tex]A=[a,b)[/tex], gdzie [tex]a<b[/tex] oraz [tex]a,b [/tex] są rozwiązaniami równania [tex]|x-2|=3[/tex]. Przedział [tex]B[/tex] powstaje przez przesunięcie wzdłuż osi w lewo przedziału [tex]A[/tex] o [tex]2[/tex] jednostki. Wyznacz wszystkie elementy, które należą  jednocześnie do przedziału [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex].

Zaokrąglij liczbę [tex]1,655[/tex] do drugiego miejsca po przecinku, a następnie oblicz błąd względny i bezwzględny tego przybliżenia. Wyniki podaj z dokładnością do trzeciego miejsca po przecinku.

Wyznacz dla jakich argumentów funkcja dana wzorem [tex]f(x)=x^2+5x-4[/tex] przyjmuje wartość [tex]10[/tex].

Oblicz długość okręgu, jeżeli długość łuku na którym oparty jest kąt [tex]\alpha[/tex] wynosi [tex]\pi[/tex], a miara kąta [tex]\alpha[/tex] wynosi [tex]40^{\circ}[/tex].

Znajdź równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty [tex]P=(3,-3)[/tex] oraz [tex]Q=(1,3)[/tex].

Oblicz miarę kąta [tex]\alpha[/tex].

Oblicz pole koła:

W pewnym ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym, krawędź podstawy jest równa wysokości i wynosi [tex]5\ cm[/tex]. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Oblicz pole trójkąta [tex]ABS [/tex].

Oblicz pole zacieniowanego obszaru, jeżeli proste [tex]k[/tex] i [tex]l[/tex] są równoległe, a promienie obu okręgów mają długość [tex]5[/tex].

Jeżeli punkty [tex]A=(x_A,y_A)[/tex], [tex]B=(x_B,y_B)[/tex] oraz [tex]C=(x_C,y_C)[/tex] są wierzchołkami trójkąta, to pole tego trójkąta możemy obliczyć ze wzoru:

[tex]P_{ABC}=\cfrac{1}{2} | (x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A) |[/tex].

W oparciu o ten wzór, rozwiąż poniższe zadanie.

Dane są dwa punkty [tex]A=(2,3)[/tex] i [tex]B=(4,7)[/tex]. Są one wierzchołkami trójkąta [tex]ABC[/tex].  O wierzchołku [tex]C[/tex] wiadomo, że znajduje się na okręgu o równaniu [tex]x^2+y^2=9[/tex].

[tex]a) [/tex] Znajdź wzór funkcji [tex]f[/tex], za pomocą której możemy obliczyć pole trójkąta [tex]ABC[/tex], gdy znamy pierwszą współrzędną wierzchołka [tex]C[/tex].

[tex]b) [/tex] Oblicz współrzędne wierzchołka [tex]C[/tex], jeżeli wiadomo, że są to całkowite liczby nieujemne, a pole trójkąta [tex]ABC[/tex] wynosi [tex]4 [/tex].

Znajdź równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty [tex]P=(-5,-3)[/tex] oraz [tex]Q=(-2,3)[/tex].

Znajdź równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty [tex]A=(-14,-2)[/tex] oraz [tex]B=(6,8)[/tex].

Rozwiąż nierówność [tex]x^2+6x-7 \leq 0[/tex], a następnie zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej.

Dany jest prostokąt [tex]ABCD[/tex] (patrzy rysunek). Wewnątrz prostokąta leży punkt [tex]M[/tex]. Udowodnij, że:

[tex]|AM|^2+|CM|^2=|BM|^2+|DM|^2[/tex]

Dany jest ciąg [tex](a_n)[/tex] określony wzorem [tex]a_n=\cfrac{(-1)^n \cdot n}{2n^2+3n+3}[/tex] dla [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]. Oblicz [tex]a_2,\ a_4[/tex].

Wiedząc, że [tex]\alpha[/tex]  jest kątem ostrym oraz że [tex]\sin\alpha=\cfrac{4}{5}[/tex] oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Wiadomo, że prosta [tex]k[/tex] jest prostopadła do prostej [tex]l[/tex]. Współczynnik kierunkowy prostej [tex]l[/tex] to [tex]-\cfrac{1}{3}[/tex] oraz przecina oś [tex]OY[/tex] w punkcie [tex]B=(0,2)[/tex]. Prosta [tex]k[/tex] przechodzi przez punkt [tex]A=(1,8)[/tex]. Znajdź równania kierunkowe obu prostych.

Oblicz [tex]W(x) \cdot P(x)[/tex], jeżeli

[tex]W(x)=x^3+x^2+3[/tex]

[tex]P(x)=x^2+5x+1[/tex].