Ciągi liczbowe - Zadania z rozwiązaniami

Kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego  [tex](a_n)[/tex]  są potęgi liczby [tex]3[/tex]. Oblicz [tex]a_5[/tex].

Dany jest ciąg   [tex](a_n)[/tex]  określony wzorem [tex]a_n=\cfrac{3n^2}{n^2-n+1}[/tex] dla [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]. Oblicz [tex]a_2,\ a_4,\ a_5[/tex].

Dany jest ciąg [tex](a_n)[/tex] określony wzorem [tex]a_n=\cfrac{(-1)^n \cdot n}{2n^2+3n+1}[/tex] dla [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]. Oblicz [tex]a_2,\ a_3,\ a_4[/tex].

Wyrazami ciągu arytmetycznego [tex](a_n)[/tex] są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez [tex]4 [/tex] dają resztę [tex] 3[/tex]. Oblicz [tex]a_9[/tex].

Dany jest ciąg [tex](b_n)[/tex], o wyrazie ogólnym [tex]b_n=3n^2-5n[/tex]. Oblicz sumę trzech początkowych wyrazów tego ciągu.

Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego [tex] (a_n)[/tex] wiedząc, że:

[tex]r=4[/tex]

[tex]a_1=3[/tex]

Piąty wyraz ciągu arytmetycznego to [tex]15[/tex] i jest on o [tex]6[/tex] większy od wyrazu trzeciego. Oblicz różnicę tego ciągu.

Rozwiąż równanie

[tex](\cfrac{x}{2}+5)+(\cfrac{x}{2}+10)+(\cfrac{x}{2}+15)+...+(\cfrac{x}{2}+50)=310[/tex]

jeżeli wiadomo, że składniki po lewej stronie tworzą ciąg arytmetyczny.

Znajdź trzy liczby takie, że wstawione między liczby [tex]3[/tex] oraz [tex]15[/tex] tworzą ciąg arytmetyczny.

Znajdź trzy liczby takie, że wstawione między liczby [tex]3[/tex] oraz [tex]243[/tex] tworzą ciąg geometryczny.

Dane są dwa ciągi. Ciąg [tex](a_n),\ n \in \mathbb{N}[/tex] jest ciągiem arytmetycznym, a ciąg [tex](b_n),\ n \in \mathbb{N}[/tex] jest ciągiem geometrycznym. Różnica ciągu [tex](a_n)[/tex] jest większa od zera i wynosi tyle samo co iloraz ciągu [tex](b_n)[/tex]. Wyrazy drugi oraz trzeci tych ciągów są takie same. Pierwszy wyraz ciągu [tex](b_n)[/tex] wynosi [tex]1[/tex].Znajdź czwarty wyraz każdego z tych ciągów.

Zbadaj czy ciąg dany wzorem ogólnym [tex]a_n=4n+3[/tex] jest ciągiem arytmetycznym.

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego [tex](a_n),\ n\in \mathbb{N}[/tex], danego wzorem ogólnym [tex]a_n=3n+2[/tex].

Wskaż ciąg arytmetyczny:

Zbadaj czy ciąg dany wzorem ogólnym [tex]c_n=3n^2+2n[/tex] jest ciągiem arytmetycznym.

Zbadaj czy ciąg dany wzorem ogólnym [tex]d_n=6\cdot 6^{\cfrac{n}{2}}[/tex] jest ciągiem geometrycznym.

Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego [tex](b_n)[/tex], wiedząc że

[tex]b_1 + b_5=7[/tex]

[tex]b_2 + b_3=\cfrac{25}{4}[/tex] .

Czwarty wyraz ciągu geometrycznego wynosi [tex]18[/tex], natomiast wyraz drugi to  [tex]2[/tex]. Oblicz ile wynosi  iloraz tego ciągu, jeżeli wiemy, że jest liczbą dodatnią.

Oblicz sumę wszystkich potęg liczby dwa o wykładniku naturalnym, mniejszych od stu.

Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego [tex](b_n),\ n \in \mathbb{N}[/tex] wiedząc, że [tex]b_1=2[/tex]  oraz [tex]q=3[/tex].

Ile razy musimy powtarzać składanie kartki na pół, aby podzielić ją na sześćdziesiąt cztery kawałki?

Znajdź wyrazy ciągu [tex](a_n)\ n \in \mathbb{N}[/tex] danego wzorem ogólnym [tex]a_n=2n^2-6n-5[/tex], które są równe [tex]15[/tex].

Suma naturalnych liczb parzystych, mniejszych od [tex]50[/tex] wynosi:

Dany jest ciąg arytmetyczny [tex](a_n)[/tex]. Wiedząc, że [tex]a_3=9[/tex] oraz [tex]a_7=21[/tex] wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu, które są mniejsze od [tex]17[/tex].

Dany jest ciąg geometryczny [tex](c_n)[/tex]. Wiemy, że pierwszy wyraz tego ciągu to [tex]\cfrac{4}{5}[/tex], natomiast iloraz tego ciągu wynosi  [tex]\cfrac{1}{5}[/tex]. Suma [tex]n[/tex]  początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem ogólnym: