Figury płaskie (Planimetria) - Zadania z rozwiązaniami

W trapezie [tex]ABCD[/tex] przedłużono ramiona [tex]AD[/tex] oraz [tex]BC[/tex] do przecięcia w punkcie [tex]S[/tex]. Podstawy tego trapezu mają długość [tex]10[/tex] oraz [tex] 4 [/tex]. Wiadomo też, że [tex]|AD|=6[/tex] oraz  [tex]|BC|=7[/tex]. Oblicz obwód trójkąta [tex]DCS[/tex].

Dany jest trójkąt o bokach długości [tex]3 \times 4 \times 6 [/tex]. Obwód trójkąta podobnego w skali [tex]3[/tex] wynosi:

Prostokąt [tex]ABCD[/tex] jest podobny [tex]EFGH[/tex]. Stosunek pól tych prostokątów wynosi [tex]9[/tex]. Różnica długości między krótszymi bokami tych prostokątów wynosi [tex] 4 [/tex], natomiast między dłuższymi bokami wynosi [tex]6[/tex]. Oblicz długości boków obu prostokątów.

Różnica miar dwóch kolejnych kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa [tex]60^{\circ}[/tex]. Obwód tego równoległoboku wynosi [tex]12\ cm[/tex], a długość wysokości to [tex]\sqrt{3}\ cm[/tex]. Oblicz pole tego równoległoboku.

Oblicz długości boków [tex]FE[/tex]  oraz  [tex]DE[/tex].

Dane są trzy odcinki o długościach [tex]a,\ 6,\ 9[/tex]. Wyznacz przedział do jakiego może należeć [tex]a[/tex], tak aby z podanych odcinków można było zbudować trójkąt.

Liczby [tex]12,\ 5,\ c[/tex] są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz [tex]c[/tex].

Kąt  [tex]\alpha[/tex]  między styczną a cięciwą okręgu ma miarę  [tex]30^{\circ}[/tex].  Miara kąta [tex]\beta[/tex]  wynosi:

Pole trójkąta prostokątnego wynosi [tex]3[/tex]. Wiadomo, że [tex]\tan\alpha=\cfrac{2}{3}[/tex], gdzie [tex]\alpha[/tex] to jeden z kątów ostrych tego trójkąta. Oblicz długości przyprostokątnych.

Kąt ostry rombu ma miarę [tex]37^{\circ}[/tex], a długość jego boku wynosi [tex]5[/tex]. Oblicz pole tego rombu.

Dany jest trójkąt prostokątny (patrz rysunek). [tex]h[/tex] jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego. Wykaż, że [tex]h=\cfrac{ab}{c}[/tex].

W trójkąt równoboczny wpisano okrąg i opisano na nim okrąg. Pole pierścienia między jednym a drugim okręgiem wynosi [tex]9\pi[/tex]. Oblicz pole trójkąta.

Oblicz długość okręgu, jeżeli długość łuku na którym oparty jest kąt [tex]\alpha[/tex] wynosi [tex]\pi[/tex], a miara kąta [tex]\alpha[/tex] wynosi [tex]40^{\circ}[/tex].

Oblicz miarę kąta [tex]\alpha[/tex].

Oblicz pole koła:

Oblicz pole trójkąta [tex]ABS [/tex].

Oblicz pole zacieniowanego obszaru, jeżeli proste [tex]k[/tex] i [tex]l[/tex] są równoległe, a promienie obu okręgów mają długość [tex]5[/tex].

Dany jest prostokąt [tex]ABCD[/tex] (patrzy rysunek). Wewnątrz prostokąta leży punkt [tex]M[/tex]. Udowodnij, że:

[tex]|AM|^2+|CM|^2=|BM|^2+|DM|^2[/tex]

W okręgu o promieniu [tex]10[/tex] poprowadzono dwie równoległe cięciwy o długościach [tex]12[/tex] i [tex]16[/tex]. Oblicz odległość między tymi cięciwami.

Wykaż, że pole trójkąta  [tex]ASD[/tex] i pole trójkąta [tex]BSC[/tex] są równe.

Pole równoległoboku [tex]ABCD[/tex] wynosi [tex]8 [/tex]. Odcinek [tex]EF[/tex] zawiera się w symetralnej boku [tex]AD[/tex] a odcinek [tex]DE[/tex] w symetralnej boku [tex]AB[/tex]. Oblicz długości boków tego równoległoboku.

Długość boku rombu wynosi [tex]5[/tex]. Kąt rozwarty tego rombu ma miarę [tex]120^{\circ}[/tex]. Oblicz długości przekątnych tego rombu.

Oblicz pole trapezu na powyższym rysunku, jeżeli:

[tex]\sin\alpha=\cfrac{1}{2}[/tex]

[tex]\cos\beta=\cfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

Krótsza przekątna równoległoboku o długości [tex]3[/tex] jest prostopadła do podstawy. Kąt ostry tego równoległoboku to [tex]\alpha[/tex], natomiast [tex]\beta[/tex] to kąt nachylenia dłuższej przekątnej do podstawy. Wiadomo, że [tex]\sin\alpha=\cfrac{3}{5}[/tex] i [tex]\tan\beta=\cfrac{3}{8}[/tex]. Oblicz długości boków tego równoległoboku.

W trapezie równoramiennym [tex]ABCD[/tex] suma długości podstaw wynosi [tex]20[/tex]. Przekątna jest nachylona do podstawy pod kątem [tex]40^{\circ}[/tex]. Oblicz wysokość tego trapezu.