Geometria analityczna - Zadania z rozwiązaniami

Dobierz współczynnik prostej [tex]k[/tex] tak, aby była ona prostopadła do prostej [tex]l[/tex].

[tex]k: y=ax+7[/tex]

[tex]l: y=-\cfrac{1}{2}x+7[/tex]

Zbadaj czy proste [tex]k[/tex]  oraz  [tex]l[/tex]  są równoległe:

[tex]k:  y=2x+3[/tex]

[tex]l: y=-\cfrac{1}{2}x+8[/tex]

Znajdź równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty [tex]P=(4,6)[/tex], jeżeli wiadomo, że współczynnik kierunkowy tej prostej to liczba [tex]\cfrac{1}{4}[/tex].

Znajdź równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty [tex]A=\left(\cfrac{1}{3},\cfrac{10}{3}\right)[/tex]  oraz   [tex]B=\left(\cfrac{1}{9},\cfrac{4}{3}\right)[/tex].

Znajdź równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt [tex]A=(-1,6)[/tex], jeżeli wiadomo, że współczynnik kierunkowy tej prostej to liczba [tex]-2[/tex].

Zbadaj czy proste [tex]k[/tex] oraz [tex]l[/tex] są równoległe:

[tex]k:  y=\cfrac{1}{3}x+3[/tex]

[tex]l:   y=\cfrac{1}{3}x+8[/tex]

Zbadaj czy proste [tex]k[/tex] oraz [tex]l[/tex] są prostopadłe:

[tex]k: y=4x+3[/tex]

[tex]l: y=-\cfrac{1}{4}x+5[/tex]

Rozwiąż poniższy układ równań metodą graficzną:

[tex]\left\{\begin{matrix}
x+y=1\\
-3x+y=5
\end{matrix}\right.[/tex]

Zbadaj czy proste [tex]k[/tex]  oraz  [tex]l[/tex]  są prostopadłe:

[tex]k:  y=-5x+3[/tex]

[tex]l: y=-\cfrac{1}{5}x+8[/tex]

Dobierz współczynnik prostej [tex]k[/tex] tak, aby była ona równoległa  do prostej [tex]l[/tex].

[tex]k:  y=ax-10[/tex]

[tex]l: y=-15x+10[/tex]

Wyznacz wzór okręgu jeżeli wiadomo, że jego pole wynosi [tex]2\pi\ cm^2[/tex], a odcinek [tex]AB[/tex] jest średnicą tego okręgu (  [tex]A=(3,6)[/tex],  [tex]B=(5,8)[/tex] ).

Odcinek [tex]AB[/tex] jest średnicą okręgu [tex]O[/tex]. [tex]A=(1,3),\ B=(-5,-7)[/tex]. Wyznacz równanie tego okręgu oraz jego obwód.

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu [tex]y=-\cfrac{2}{7}x+3[/tex].

Wskaż równanie prostej równoległej  do prostej o równaniu [tex]y=-\cfrac{2}{3}x+3 [/tex].

Wskaż równanie prostej, równoległej do prostej o równaniu [tex]y=\cfrac{3}{2}x+5 [/tex].

Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu [tex]y=-\cfrac{1}{2}x+8 [/tex].

Funkcja dana na rysunku, powstała w wyniku przesunięcia funkcji [tex]f[/tex] o wektor [tex]\vec{v}=[3,-4][/tex]. Znajdź wzór funkcji [tex]f[/tex].

Dane są punkty [tex]A=(2,-3),\ B=(3,-1),\ C=(5,-7)[/tex]. Prosta [tex]k[/tex] przechodzi przez punkty [tex]B,\ C[/tex]. Znajdź równanie prostej prostopadłej do prostej [tex]k[/tex], przechodzącej przez punkt [tex]A[/tex].

Określ wzajemne położenie prostej [tex]k[/tex] i okręgu [tex]O[/tex], gdzie

[tex]k:\ y=2x-4[/tex],

[tex]O:\ (x-3)^2+(y+1)^2=9[/tex].

Wyznacz punkty wspólne.

Punkt [tex]A=(-1,3)[/tex] jest wierzchołkiem równoległoboku [tex]ABCD[/tex]. Proste [tex]k: x+y+1=0[/tex] i [tex]l: -2x+y+1 =0[/tex] zawierają dwa boki tego równoległoboku, a ich przecięcie wyznacza wierzchołek [tex]C[/tex]. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku [tex]ABCD[/tex]. Wykonaj rysunek pomocniczy do zadania.

Punkty [tex]A= (0,3)[/tex] i [tex]B=(3,0)[/tex] są wierzchołkami prostokąta [tex]ABCD[/tex]. Punkt [tex]S= \left(\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2}\right)[/tex] jest punktem przecięcia się przekątnych tego prostokąta. Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków.

Udowodnij twierdzenie o odcinkach łączących środki boków trójkąta.

Twierdzenie: O odcinkach łączących środki boków trójkąta

Punkty [tex]K,\ L,\ M[/tex] są środkami boków trójkąta [tex]ABC[/tex].

Jest prawdą, że:

[tex]KL || AB[/tex]

[tex]LM || BC[/tex]

[tex]KM || AC[/tex]

 oraz

[tex]|KL|=\cfrac{1}{2}|AB|[/tex]

[tex]|LM|=\cfrac{1}{2}|BC|[/tex]

[tex]|KM|=\cfrac{1}{2}|AC|[/tex]

Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt [tex]P=(4,9)[/tex], równoległej do prostej [tex]y =2x+7[/tex]

Wykres funkcji [tex]g[/tex] otrzymano przez przesunięcie wykresu funkcji [tex]f[/tex] o wektor [tex]\vec{u}[/tex]. Oblicz współrzędne wektora [tex]\vec{u}[/tex], gdy:

[tex]a)\ f(x)=|3x+4|,\ g(x)=|3x+2|[/tex]

[tex]b)\ f(x)=\cfrac{1}{x+2},\ g(x)=\cfrac{7x-6}{x-1}[/tex]

Znajdź wektor jednostkowy równoległy do wektora [tex]\vec{u}=[8,6][/tex].