Trygonometria - Zadania z rozwiązaniami

Oblicz miarę kąta [tex]\alpha[/tex].

Oblicz pierwiastek trzeciego stopnia z [tex]a-b[/tex] jeżeli [tex]a=\sin^3\alpha-3\sin^2\alpha \cos\alpha[/tex], [tex]b=-3\sin\alpha\cos^2\alpha+\cos^3\alpha[/tex], a kąt [tex]\alpha[/tex] ma miarę [tex]60^{\circ}[/tex]. Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.

Wiedząc, że [tex]\alpha[/tex]  jest kątem ostrym oraz że [tex]\cos\alpha=\cfrac{3}{5}[/tex] oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość [tex]3[/tex] i [tex]7[/tex], a jeden z kątów ostrych ma miarę [tex]\alpha[/tex]. Oblicz [tex]\sin\alpha \cdot \cos\alpha[/tex].

Rozwiąż nierówność:

$\sin^3x-\cos^3x-3 \sin x \cos x (\sin x-\cos x)>0$

$x \in \mathbb{R}$.

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych [tex]\alpha[/tex] oraz [tex]\beta[/tex]. Jeżeli suma cosinusów kątów ostrych wynosi [tex]\cfrac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex]  to suma sinusów tych kątów to:

Oblicz miarę kąta [tex]\alpha[/tex] oraz [tex]\beta[/tex].

Rozwiąż równanie:

[tex]\cfrac{\sin^2x}{\cos^2x}+\cfrac{1}{\cos^2x}=3[/tex].

Wiedząc, że [tex]\alpha[/tex]  jest kątem ostrym oraz że [tex]\sin\alpha=\cfrac{4}{5}[/tex] oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Udowodnij, że prawdziwa jest równość [tex]\cfrac{1}{\sin^2\alpha}-\cot^2\alpha=1[/tex] dla wszystkich  [tex]\alpha\in (0,90^{\circ}][/tex].

Udowodnij, że prawdziwa jest równość [tex]\tan^2\alpha+1=\cfrac{1}{\cos^2\alpha}[/tex] dla wszystkich [tex]\alpha\in[0,90^{\circ})[/tex].

Wykaż, że prawdziwa jest tożsamość

 [tex]\sin(x-y)\cdot \sin(x+y)=(\sin x -\sin y)\cdot (\sin x +\sin y)[/tex]

Rozwiąż nierówność:

$(6^{\sin^3 x}+4^{\sin^2 x}+2^{\sin x} )(2^{\sin x}-2)\geq 0$

gdzie $x \in \mathbb{R}$

Wiadomo, że [tex]\sin\alpha=\cfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex], oraz że kąt [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym. Wynika z tego, że:

 Dany jest kąt ostry [tex]\alpha[/tex]. Jeżeli [tex]\sin\alpha=\cfrac{3}{4}[/tex] to [tex]\cos\alpha[/tex] wynosi:

Jeżeli [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym oraz [tex]\sin\alpha=\cfrac{1}{2}[/tex] to [tex]\tan\alpha[/tex] jest równy:

Wiadomo, że [tex]\cos\alpha=\cfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex] oraz że [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym. Wynika z tego, że:

Wiadomo, że [tex]\tan\alpha=\cfrac{7}{10}[/tex] oraz że [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym. Wynika z tego, że:

Wiadomo, że [tex]\tan\alpha=\cfrac{\sqrt{3}}{3}[/tex] oraz że [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym. Wynika z tego, że:

Dla jakiego [tex]\alpha\in [0,90^{\circ}][/tex] spełniona jest równość: [tex]\cot\alpha=3\tan\alpha[/tex]?

Jeżeli $\sin x =\cfrac{\sqrt{2}}{2}$, to

Jeżeli $\cos x =\frac{\sqrt{3}}{2}$, to $\sin x \cdot \tan x $ wynosi:

Rozwiąż równanie:

$2 \sin x -\sqrt{3}=0$

gdzie $x \in [0,\cfrac{\pi}{2}]$

Oblicz wartość wyrażenia [tex]\cfrac{\sin^2\alpha+\cos\alpha}{\tan\alpha+\cot 2\alpha}-\cos^2\alpha[/tex] dla [tex]\alpha=30^{\circ}[/tex].

Oblicz wartość wyrażenia  [tex]\cfrac{\sin^2\alpha+\tan\alpha}{\sin\alpha \cdot \cos\alpha}-2(\cos\alpha+\sqrt[3]{-8})[/tex]dla [tex]\alpha=45^{\circ}[/tex].